3. С 7троимгистограмму относительных частот.

Для этого на каждом элементарном интервале строим прямоугольник, по площади равный относительной частоте попадания в интервал.

Высоты этих прямоугольников равны: .

Заносим результаты в таблицу в нижний ряд:

	(x i ;x i+1)	(-3,0; -0,5)	(-0,5; 2,0)	(2,0; 4,5)	(4,5; 7,0)	(7,0; 9,5)
	n i	2	11	8	7	2
	w i	0,0667	0,3667	0,2667	0,2333	0,0667
	h i	0,0267	0,1467	0,1067	0,0933	0,0267

Строим гистограмму:

Гистограмма позволяет составить представление о виде графика плотности распределения

4. Находим числовые характеристики выборки. При подсчете их по сгруппированным данным для подстановки в формулы берем середины соответствующих интервалов Эти значения заносим в дополнительный верхний ряд таблицы:

		-1,75	0,75	3,25	5,75	8,25
	(x i ;x i+1)	(-3,0; -0,5)	(-0,5; 2,0)	(2,0; 4,5)	(4,5; 7,0)	(7,0; 9,5)
	n i	2	11	8	7	2
	w i	0,0667	0,3667	0,2667	0,2333	0,0667
	h i	0,0267	0,1467	0,1067	0,0933	0,0267

выборочная средняя

8

Статистическая мода m _o^ - середина интервала с наибольшей частотой.

m _o^ = 0,75.

Статистическая медиана m _e^ - варианта, стоящая посередине вариационного ряда.

Так как число вариант равно 30 , берем среднее между 15 и 16 вариантами :

m _e^ = .

Статистические дисперсия Dв и среднеквадратическое отклонение в :

или по вспомогательной формуле :

5. Точечные оценки параметров распределения :

Найденные числовые характеристики выборки используем для оценки параметров распределения.

Статистической оценкой для математического ожидания служит выборочная средняя:

Статистической оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:

Статистической оценкой для среднеквадратического отклонения служит исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:

Задача 3.

9

Задана выборка :

	x i	3	5	8	12	16	19	21
	n i	8	13	16	14	11	9	5

Необходимо:

1. Построить статистическую функцию распределения F^(x) .

Записать ее аналитическое выражение . Построить график.

2. Выполнить интервальную оценку параметров распределения:

математического ожидания m _x ; среднеквадратического отклонения  _x .

(Доверительную вероятность  принять равной 0,95)

Объем выборки (общее количество проведенных опытов) равен сумме всех частот:

1). Строим статистическую функцию распределения.

По определению, статистическая функция распределения - это функция F^(x) , которая при каждом значении аргумента x равна относительной частоте того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем аргумент (попадет в область, лежащую слева от аргумента):

Она дает представление о теоретической функции распределения . Принцип ее построения тот же, что и для теоретической функции распределения для дискретной случайной величины, только вместо вероятностей p _i берем относительные частоты w _i . Подсчитываем относительные частоты:

	x i	3	5	8	12	16	19	21
	n i	8	13	16	14	11	9	5
	w i	0,1053	0,1711	0,2105	0,1842	0,1447	0,1184	0,0658

Записываем функцию распределения . Для этого при любом значении аргумента x нужно подсчитать относительную частоту появления опытных данных в области, лежащей слева от x.

10

Например, запишем значение функции распределения для указанного на рисунке стрелкой значения x. Слева от такого x лежит 37 опытных значений : значение (3) повторилось в опытах 8 раз, значение (5) - 13 раз и значение (8) - 16 раз. Таким образом, частота n появления опытных данных в выделенной области равна 37, а относительная частота w равна 37 / 76 = 0,4868 . Т.е., статистическая функция распределения в указанной точке x равна : F^(x) = 0,4868 и такое же значение эта функция имеет в любой точке, лежащей между 8 и 12 .

Теперь запишем значения F^(x) для любого x , пробегающего значения от (‑) до (+) :

при ‑  < x  3 F^(x) = W(X<x) = 0 (слева от таких x нет опытных данных) ;

при 3< x  5 F^(x) = W(X<x) = W(X=3) = w ₁ = 0,1053;

при 5< x  8 F^(x) = W(X=3)+W(X=5) = 0,1053 + 0,1711 = 0,2763 ;

при 8< x  12 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 = 0,4868;

при 12< x 16 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 = 0,6711;

при 16< x 19 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 = 0,8158;

при 19< x 21 F^(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16)+W(X=19) =

= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 + 0,1184 = 0,9342;

при 21< x  + F^(x) = 1 .

В последнем случае все опытные данные лежат слева от аргумента x . Сумма всех относительных частот обязательно равна единице.

Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления относительных частот. Можно записать общую формулу :

Статистическая функция распределения в каждой точке x равна сумме относительных частот для всех значений вариант, лежащих слева от этого x.

Окончательно получаем выражение для статистической функции распределения:

11