
- •§4. Статистическая оценка параметров распределения Общие принципы
- •Задача 1. 4 Задана выборка, полученная для дискретной случайной величины X :
- •Обработав ее, построить:
- •1). В представленной выборке опытные данные записаны в порядке их получения.
- •Вариационный ряд - это опытные данные, записанные в порядке возрастания:
- •Группируем опытные данные по повторяемости.
- •Н 5аходим числовые характеристики выборки:
- •Обработав ее, построить:
- •С 7троимгистограмму относительных частот.
- •Заносим результаты в таблицу в нижний ряд:
- •Строим гистограмму:
- •Гистограмма позволяет составить представление о виде графика плотности распределения
- •Статистические дисперсия Dв и среднеквадратическое отклонение в :
- •Теперь рисуем график функции распределения f(X):
- •Выполняем интервальную оценку параметров распределения .
- •Д 12ля того, чтобы ими воспользоваться, находим числовые характеристики выборки:
- •Требования, предъявляемые
- •Метод моментов.
- •Интервальные оценки распределения.
- •Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.
- •Формулой воспользоваться нельзя: хотя- нормальная величина, но параметры его неизвестны. Преобразуем это неравенство:
- •Стьюдента
- •Образец набора
С 7троимгистограмму относительных частот.
Для этого на каждом элементарном интервале строим прямоугольник, по площади равный относительной частоте попадания в интервал.
Высоты
этих прямоугольников равны:
.
Заносим результаты в таблицу в нижний ряд:
|
|
|
|
|
|
|
|
(x i ;x i+1) |
(-3,0; -0,5) |
(-0,5; 2,0) |
(2,0; 4,5) |
(4,5; 7,0) |
(7,0; 9,5) |
|
n i |
2 |
11 |
8 |
7 |
2 |
|
w i |
0,0667 |
0,3667 |
0,2667 |
0,2333 |
0,0667 |
|
h i |
0,0267 |
0,1467 |
0,1067 |
0,0933 |
0,0267 |
Строим гистограмму:
Гистограмма позволяет составить представление о виде графика плотности распределения
Находим числовые характеристики выборки. При подсчете их по сгруппированным данным для подстановки в формулы берем середины соответствующих интервалов
Эти значения заносим в дополнительный верхний ряд таблицы:
|
|
-1,75 |
0,75 |
3,25 |
5,75 |
8,25 |
|
(x i ;x i+1) |
(-3,0; -0,5) |
(-0,5; 2,0) |
(2,0; 4,5) |
(4,5; 7,0) |
(7,0; 9,5) |
|
n i |
2 |
11 |
8 |
7 |
2 |
|
w i |
0,0667 |
0,3667 |
0,2667 |
0,2333 |
0,0667 |
|
h i |
0,0267 |
0,1467 |
0,1067 |
0,0933 |
0,0267 |
выборочная
средняя
8
Статистическая мода m o - середина интервала с наибольшей частотой.
m o = 0,75.
Статистическая медиана m e - варианта, стоящая посередине вариационного ряда.
Так как число вариант равно 30 , берем среднее между 15 и 16 вариантами :
m
e
=
.
Статистические дисперсия Dв и среднеквадратическое отклонение в :
или по вспомогательной формуле :
Точечные оценки параметров распределения :
Найденные числовые характеристики выборки используем для оценки параметров распределения.
Статистической оценкой для математического ожидания служит выборочная средняя:
Статистической оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
Статистической оценкой для среднеквадратического отклонения служит исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:
Задача
3.
9
Задана выборка :
|
x i |
3 |
5 |
8 |
12 |
16 |
19 |
21 |
|
n i |
8 |
13 |
16 |
14 |
11 |
9 |
5 |
Необходимо:
Построить статистическую функцию распределения F(x) .
Записать ее аналитическое выражение . Построить график.
Выполнить интервальную оценку параметров распределения:
математического ожидания m x ; среднеквадратического отклонения x .
(Доверительную вероятность принять равной 0,95)
Объем выборки (общее количество проведенных опытов) равен сумме всех частот:
1). Строим статистическую функцию распределения.
По определению, статистическая функция распределения - это функция F(x) , которая при каждом значении аргумента x равна относительной частоте того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем аргумент (попадет в область, лежащую слева от аргумента):
Она дает представление о теоретической функции распределения . Принцип ее построения тот же, что и для теоретической функции распределения для дискретной случайной величины, только вместо вероятностей p i берем относительные частоты w i . Подсчитываем относительные частоты:
|
x i |
3 |
5 |
8 |
12 |
16 |
19 |
21 |
|
n i |
8 |
13 |
16 |
14 |
11 |
9 |
5 |
|
w i |
0,1053 |
0,1711 |
0,2105 |
0,1842 |
0,1447 |
0,1184 |
0,0658 |
Записываем функцию распределения . Для этого при любом значении аргумента x нужно подсчитать относительную частоту появления опытных данных в области, лежащей слева от x.
10
Например, запишем значение функции распределения для указанного на рисунке стрелкой значения x. Слева от такого x лежит 37 опытных значений : значение (3) повторилось в опытах 8 раз, значение (5) - 13 раз и значение (8) - 16 раз. Таким образом, частота n появления опытных данных в выделенной области равна 37, а относительная частота w равна 37 / 76 = 0,4868 . Т.е., статистическая функция распределения в указанной точке x равна : F(x) = 0,4868 и такое же значение эта функция имеет в любой точке, лежащей между 8 и 12 .
Теперь запишем значения F(x) для любого x , пробегающего значения от (‑) до (+) :
при ‑ < x 3 F(x) = W(X<x) = 0 (слева от таких x нет опытных данных) ;
при 3< x 5 F(x) = W(X<x) = W(X=3) = w 1 = 0,1053;
при 5< x 8 F(x) = W(X=3)+W(X=5) = 0,1053 + 0,1711 = 0,2763 ;
при 8< x 12 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 = 0,4868;
при 12< x 16 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 = 0,6711;
при 16< x 19 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 = 0,8158;
при 19< x 21 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16)+W(X=19) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 + 0,1184 = 0,9342;
при 21< x + F(x) = 1 .
В последнем случае все опытные данные лежат слева от аргумента x . Сумма всех относительных частот обязательно равна единице.
Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления относительных частот. Можно записать общую формулу :
Статистическая функция распределения в каждой точке x равна сумме относительных частот для всех значений вариант, лежащих слева от этого x.
Окончательно получаем выражение для статистической функции распределения:
11