Статистическая проверка статистических гипотез

Статистическойназ. Гипотеза о виде з-на распределения или о параметрах распределения.

Проверять справедливость гипотезы можно только по выборочным данным. С. данные, вошедшие в выборку. Подсчитанные по ним величины тоже случайны.

Статистическим критерием К наз. С.в., служащая для проверки гипотезы (это ф-ла, зависящая от х_i):

К=К(х₁,х₂…х_n) - (1)

Нулевой гипотезой М₀ наз.выдвинутая гипотеза, кот. Нужно проверить ( напр.: с.в. – норм сm_x=2.5,σ_x=3.1 ) Конкурирующей или альтернативной наз. Гипотеза, противоречащая М₀, М₁(m_x≠2.5,σ_x>3,1).

Проверка гипотезы производится след.образом: по выборке подсчитывают значение К наблюдаемого и по его величине решают, принять гипотезу или нет.

Те значения К, при кот. Гипотеза принимается, образуют область принятия гипотезы; при кот. Отвергается –критическую область. Точки, разделяющие эти области, наз-сякритическими точками.

Взависимости от гипотезы и критериякритические области бывают:

• Двусторонняя К_ср^левК_ср^правК

• Правосторонняя К_срК

• Левосторонняя К_срК

Критерий – с.в. и при проверке гипотезы возможны случайные ошибки.

1. М₀верна, но мы ее отвергаем, т.к. к_наблпопал в критическую область. Это ошибка 1-го рода.

P(ошIрода) =α (2)

2. М₀неверна, но мы ее принимаем , т.к. К_наблпопал в область принятия гипотезы. Это ошибка П-го рода.

P(ош П рода) =β (2)

Для проверки гипотезы можно предложить разные ф-лы. Лучшей из них считают ту, кот. Позволяет принять М₀ , если она верна, и отвергнуть М₁, если она неверна.

Мощностью критерияназ-ся вер-ть принять гипотезу М₀, если она верна.

М=P(М₀ верна и принята) = 1-β(4)

Вер-ти α и β стараются сделать как можно меньше.

Проверка гипотезы о равенстве мат.Ожиданий двух нормальных распределений

Ставились опыты над двумя норм.с.в. Х_i. Получены две выборки разногоV:

(х₁,х₂…х_n)n

(y₁,y₂…y_m)m

По ним подсчитаны средние. Например, =12,5 и=14,1.

Гипотеза М₀:m_x=m_y(различие средних незначимо)

М₁:m_x≠m_y(различие средних значимо)

Построим критерий для проверки гипотезы К:

(5)

Чем больше разность между и, тем больше шансов, что гипотезу нужно отвергать; если эта разница небольшая, то гипотезу принимаем. Чтобы исключить влияние разбросаи, ввели в знаменатель величину, характеризующую этот разброс. Найдем з-н распр-я критерия К:

1. Теоретические D_x и D_y известны:

σ[-] - ?

D[-] =D[] +D[] =D[] +D[] =

=

σ[-] =(6)

Если дисперсии известны, то знаменатель критерия (5) – постоянное число.

= все х_i– нормальные- нормальная

= всеy_i– нормальные- нормальная

- - нормальная , а значит и К имеет нормальное распределение.

Найдем параметры этого распределения:

M[K] =M[] =

D[K] =D[] = =1

Критерий К имеет норм. Распред-ие с D_k=1 иm_k=

D_k=1

m_k=(7)

Пусть гипотеза M₀ верна (m_x=m_y) , тогдаm_k=0,D_k=1. Тогда критерий К имеет стандартное норм. распред-еZ.

Z

Критерий для проверки гипотезы о равенстве мат.ожиданй при известных дисперсиях

=(8) –

f(z) f(z)

z

-z_крz_кр

_{область принятия}

двусторонняя критическая область

Если гипотеза верна, а мы ее отвергаем из-за того, что zнабл. Попала в критическую область, то мы совершаем ошибку 1-го рода. Ее вер-ть =α. Посчитаем ее вер-ть и приравняем к α.

Р(/z/>z_крит) = 1-2Ф (z_крит)

1-2Ф (z_крит) =α(9)

Ф-ла (9) позволяет найти крит.точку, если задан уровень значимости α.

2Ф (z_крит) =1-α

Z_крит=(10)

Ф^-1(x) – обратная ф-ии Лапласа