
- •Статистическая проверка статистических гипотез
- •Проверка гипотезы о равенстве мат.Ожиданий двух нормальных распределений
- •Порядок проверки гипотезы:
- •Проверка гипотезы о равенстве математического ожидания нормального распределения предполагаемому значению.
- •Сравнение мат.Ожиданий двух нормальных распределений с неизвестными дисперсиями (для малых зависимых выборок)
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух нормальных распределений.
- •Сравнение выборочной дисперсии предполагаемым значением.
- •Проверка гипотезы о равенстве дисперсий нескольких нормальных распределений.
- •Cравнение нескольких дисперсий нормальных распределений для выборок различного объема
- •Критерии согласия
- •Инструкция к лабораторой работе № 4
- •Порядок действий по проверке любой гипотезы
- •Проверить следующие гипотезы:
- •1. Для выборок õ2 è õ 5 проверить гипотезу о равенстве дисперсий
- •2. Для выборок õ3, õ 4è õ 5
- •3. Для выборок õ1, õ 4è õ 6
- •4. Для выборки õ2 проверить гипотезу
- •Порядок проверки гипотезы
- •6. Для выборок õ1 , õ3 проверить гипотезу
- •7. Для выборки õ5 проверить гипотезу о равенстве математического ожидания предполагаемому значению при известной дисперсии
- •{ X 1 , X 2 , X 3 , . . . . , X n }
- •Дисперсия d X известна. Используется z критерий . Порядок проверки гипотезы
- •1) Подсчитываем z набл по найденному по выборке и известной
- •8. Для выборки õ6 проверить гипотезу
- •9. Для выборок õ3 è õ5 проверить гипотезу о равенстве математических ожиданий при условии, что выборки зависимы
- •Выборки зависимы Проверяется гипотеза: .
- •Сохранить файл в своей личной папке.
Статистическая проверка статистических гипотез
Статистическойназ. Гипотеза о виде з-на распределения или о параметрах распределения.
Проверять справедливость гипотезы можно только по выборочным данным. С. данные, вошедшие в выборку. Подсчитанные по ним величины тоже случайны.
Статистическим критерием К наз. С.в., служащая для проверки гипотезы (это ф-ла, зависящая от хi):
К=К(х1,х2…хn) - (1)
Нулевой гипотезой М0 наз.выдвинутая гипотеза, кот. Нужно проверить ( напр.: с.в. – норм сmx=2.5,σx=3.1 ) Конкурирующей или альтернативной наз. Гипотеза, противоречащая М0, М1(mx≠2.5,σx>3,1).
Проверка гипотезы производится след.образом: по выборке подсчитывают значение К наблюдаемого и по его величине решают, принять гипотезу или нет.
Те значения К, при кот. Гипотеза принимается, образуют область принятия гипотезы; при кот. Отвергается –критическую область. Точки, разделяющие эти области, наз-сякритическими точками.
Взависимости от гипотезы и критериякритические области бывают:
Д
вусторонняя КсрлевКсрправК
П
равосторонняя КсрК
Л
евосторонняя КсрК
Критерий – с.в. и при проверке гипотезы возможны случайные ошибки.
М0верна, но мы ее отвергаем, т.к. кнаблпопал в критическую область. Это ошибка 1-го рода.
P(ошIрода) =α (2)
М0неверна, но мы ее принимаем , т.к. Кнаблпопал в область принятия гипотезы. Это ошибка П-го рода.
P(ош П рода) =β (2)
Для проверки гипотезы можно предложить разные ф-лы. Лучшей из них считают ту, кот. Позволяет принять М0 , если она верна, и отвергнуть М1, если она неверна.
Мощностью критерияназ-ся вер-ть принять гипотезу М0, если она верна.
М=P(М0 верна и принята) = 1-β(4)
Вер-ти α и β стараются сделать как можно меньше.
Проверка гипотезы о равенстве мат.Ожиданий двух нормальных распределений
Ставились опыты над двумя норм.с.в. Хi. Получены две выборки разногоV:
(х1,х2…хn)n
(y1,y2…ym)m
По ним подсчитаны
средние. Например,
=12,5
и
=14,1.
Гипотеза М0:mx=my(различие средних незначимо)
М1:mx≠my(различие средних значимо)
Построим критерий для проверки гипотезы К:
(5)
Чем больше разность
между
и
,
тем больше шансов, что гипотезу нужно
отвергать; если эта разница небольшая,
то гипотезу принимаем. Чтобы исключить
влияние разброса
и
,
ввели в знаменатель величину,
характеризующую этот разброс. Найдем
з-н распр-я критерия К:
Теоретические Dx и Dy известны:
σ[-
]
- ?
D[-
]
=D[
]
+D[
]
=D[
]
+D[
]
=
=
σ[-
]
=
(6)
Если дисперсии известны, то знаменатель критерия (5) – постоянное число.
=
все хi– нормальные
- нормальная
=
всеyi– нормальные
-
нормальная
-
- нормальная , а значит и К имеет нормальное
распределение.
Найдем параметры этого распределения:
M[K]
=M[]
=
D[K]
=D[]
=
=1
Критерий К имеет
норм. Распред-ие с Dk=1 иmk=
Dk=1
mk=(7)
Пусть гипотеза M0 верна (mx=my) , тогдаmk=0,Dk=1. Тогда критерий К имеет стандартное норм. распред-еZ.
Z
Критерий
для проверки гипотезы о равенстве
мат.ожиданй при известных дисперсиях
(8) –
f(z) f(z)
z
-zкрzкр
область принятия
двусторонняя
критическая область
Если гипотеза верна, а мы ее отвергаем из-за того, что zнабл. Попала в критическую область, то мы совершаем ошибку 1-го рода. Ее вер-ть =α. Посчитаем ее вер-ть и приравняем к α.
Р(/z/>zкрит) = 1-2Ф (zкрит)
1-2Ф (zкрит) =α(9)
Ф-ла (9) позволяет найти крит.точку, если задан уровень значимости α.
2Ф (zкрит) =1-α
Zкрит=(10)
Ф-1(x) – обратная ф-ии Лапласа