Статистические дисперсия Dв и среднеквадратическое отклонение в :
или по вспомогательной формуле :
Точечные оценки параметров распределения :
Найденные числовые характеристики выборки используем для оценки параметров распределения.
Статистической оценкой для математического ожидания служит выборочная средняя:
Статистической оценкой для дисперсии служит исправленная выборочная дисперсия:
Статистической оценкой для среднеквадратического отклонения служит исправленное выборочное среднеквадратическое отклонение:
Задача
3.
9
Задана выборка :
|
|
x i |
3 |
5 |
8 |
12 |
16 |
19 |
21 |
|
|
n i |
8 |
13 |
16 |
14 |
11 |
9 |
5 |
Необходимо:
Построить статистическую функцию распределения F(x) .
Записать ее аналитическое выражение . Построить график.
Выполнить интервальную оценку параметров распределения:
математического ожидания m x ; среднеквадратического отклонения x .
(Доверительную вероятность принять равной 0,95)
Объем выборки (общее количество проведенных опытов) равен сумме всех частот:
1). Строим статистическую функцию распределения.
По определению, статистическая функция распределения - это функция F(x) , которая при каждом значении аргумента x равна относительной частоте того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем аргумент (попадет в область, лежащую слева от аргумента):
Она дает представление о теоретической функции распределения . Принцип ее построения тот же, что и для теоретической функции распределения для дискретной случайной величины, только вместо вероятностей p i берем относительные частоты w i . Подсчитываем относительные частоты:
|
|
x i |
3 |
5 |
8 |
12 |
16 |
19 |
21 |
|
|
n i |
8 |
13 |
16 |
14 |
11 |
9 |
5 |
|
|
w i |
0,1053 |
0,1711 |
0,2105 |
0,1842 |
0,1447 |
0,1184 |
0,0658 |
Записываем функцию распределения . Для этого при любом значении аргумента x нужно подсчитать относительную частоту появления опытных данных в области, лежащей слева от x.
10
Например, запишем значение функции распределения для указанного на рисунке стрелкой значения x. Слева от такого x лежит 37 опытных значений : значение (3) повторилось в опытах 8 раз, значение (5) - 13 раз и значение (8) - 16 раз. Таким образом, частота n появления опытных данных в выделенной области равна 37, а относительная частота w равна 37 / 76 = 0,4868 . Т.е., статистическая функция распределения в указанной точке x равна : F(x) = 0,4868 и такое же значение эта функция имеет в любой точке, лежащей между 8 и 12 .
Теперь запишем значения F(x) для любого x , пробегающего значения от (‑) до (+) :
при ‑ < x 3 F(x) = W(X<x) = 0 (слева от таких x нет опытных данных) ;
при 3< x 5 F(x) = W(X<x) = W(X=3) = w 1 = 0,1053;
при 5< x 8 F(x) = W(X=3)+W(X=5) = 0,1053 + 0,1711 = 0,2763 ;
при 8< x 12 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 = 0,4868;
при 12< x 16 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 = 0,6711;
при 16< x 19 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 = 0,8158;
при 19< x 21 F(x) = W(X=3)+W(X=5)+W(X=8)+W(X=12)+W(X=16)+W(X=19) =
= 0,1053 + 0,1711 + 0,2105 + 0,1842 + 0,1447 + 0,1184 = 0,9342;
при 21< x + F(x) = 1 .
В последнем случае все опытные данные лежат слева от аргумента x . Сумма всех относительных частот обязательно равна единице.
Таким образом, с ростом значения аргумента x идет процесс накопления относительных частот. Можно записать общую формулу :
Статистическая функция распределения в каждой точке x равна сумме относительных частот для всех значений вариант, лежащих слева от этого x.
Окончательно получаем выражение для статистической функции распределения:
11