§4. Статистическая оценка параметров распределения Общие принципы

2. У любой случайной величины есть числовые характеристики:

• математическое ожидание, мода, медиана ;

• дисперсия, среднеквадратическое отклонение и т. д..

Их мы тоже можем определить по опытным данным и тоже только приблизительно. Числа, которые мы подсчитаем по опытным данным и возьмем вместо математического ожидания, дисперсии и т.д., называют точечными оценками параметров распределения.

2. Интервальная оценка параметров распределения

Найти точное значение математического ожидания, дисперсии и стандартного отклонения по опытным данным мы в принципе не можем, так как в опытах мы получаем только часть информации о случайной величине.

Когда вместо математического ожидания мы берем из опыта выборочную среднюю, мы допускаем погрешность. Оценить ее можно с помощью доверительного интервала. Выбирается интервал и находитсядоверительная вероятность   вероятность того, что истинное значение математического ожидания лежит в этом интервале. Имеются формулы, по которым для заданного  находят величину и положение доверительного интервала:

;

s (1-q _)   _x  s (1+q _) .

Для того чтобы ими воспользоваться, находим числовые характеристики выборки :

выборочная средняя ;

средняя квадратов ;

дисперсия ;

исправленная дисперсия ;

исправленное выборочное стандартное отклонение .

Коэффициенты t _ (,n) , q _ (,n) находим по соответствующим таблицам:

t _ (0,95; 76) = 1,994 ; q _ (0,95; 76) = 0,168 .

Подставляем в формулы для доверительных интервалов :

;

5,7608(1-0,168)   _x  5,7608 (1+0,168) .

Окончательно получаем:

;

4,7930   _x  6,7286 .

С вероятностью 0,95 истинные значения математического ожидания и стандартного отклонения лежат в полученных интервалах.

Задача 1.

4

Задана выборка, полученная для дискретной случайной величины X :

	5	4	7	2	4	7	7	3	4	1	1	2	5	3	2
	6	5	1	7	4	6	3	2	2	5	6	5	3	2	5

Обработав ее, построить:

1. Вариационный ряд.

2. Статистическое распределение выборки в частотах и относительных частотах.

3. Полигон частот.

4. Числовые характеристики выборки.

5. Найти точечные оценки параметров распределения.