То гипотезу о показательном распределении следует принимать.

Пример 2

Задана выборка , полученная для дискретной случайной величины X.

	x i	0	1	2	3	4	5
	n i	355	186	59	22	8	3

Используя критерий Пирсона проверить гипотезу о том, что случайная величина подчиняется распределению Пуассона ( уровень значимости  = 0.05) .

Н

5

еобходимо по формуле Пуассона подсчитать вероятности каждого из значенийx _{i ,} затем теоретические частоты n^ _i , и сравнить их с n _i по критерию Пирсона.

В пуассоновском распределении вероятности каждого из возможных значений подсчитываются по формуле Пуассона :

( 2 )

Входящий сюда параметр a совпадает с математическим ожиданием . Поэтому его можно оценить по выборке как выборочную среднюю :

Объем выборки равен 633.

Итак, формулируем гипотезу о виде закона распределения:

H ₀ : случайная величина распределена по закону Пуассона с параметром a = 0,6588 .

Находим по формуле Пуассона вероятности p _i каждого из значений x _{i ,} по ним теоретические частоты n^ _i = p _i  n. Результаты заносим в таблицу:

	x i	0	1	2	3	4	5
	n i	355	186	59	22	8	3
	p i	0,5175	0,3409	0,1123	0,0247	0,0041	0,0005
	n  i	327,58	215,79	71,09	15,64	2,60	0,32

Объединяем малочисленные группы : три последних группы объединяем в одну.

	n i	355	186	59	33
	n  i	327,58	215,79	71,09	18,56

Подставляем частоты в формулу критерия Пирсона и находим наблюдаемое значение критерия

По таблицам критических точек критерия ² находим ²_кр( k)

 = 0,05 - уровень значимости;

k - число степеней свободы: k = s - 1 - r ; s - число групп (s = 4) ;

r - число параметров распределения, оцениваемых по выборке ( r = 1).

Находим ²_кр(0,05 ; 4-1-1) = ²_кр(0,05 ; 2) = 6,0 .

Так как ²_набл = 17,64 больше ²_кр = 6,0 то

Гипотезу о распределении Пуассона следует отвергнуть.

6

2. Критерий колмогорова .

В критерии Пирсона сравниваются теоретические и экспериментальные ряд распределения (для дискретной случайной величины) или плотность распределения (для непрерывной случайной величины).

В критерии Колмогорова сравниваются функции распределения, теоретическая F(x) и эмпирическая (статистическая) F^(x) . Если они отклоняются друг от друга незначительно, то гипотезу о виде закона распределения принимаем; если отклонение значительное, то гипотезу отвергаем.

Замечание : при пользовании критерием Колмогорова параметры распределения не оцениваются по выборке, а предполагаются уже известными величинами.

По имеющейся выборке ( x ₁ , x ₂ , x ₃ , . . . x _n ) строится эмпирическая функция распределения F^(x) . Вы знаете, что в точках x _i она имеет скачок , равный относительной частоте w _i . Т. е., в каждой экспериментальной точке x _i следует брать два значения - предел слева F^(x_i - 0) и предел справа F^(x_i + 0).

В этих же экспериментальных точках x _i подсчитывается значение теоретической функции распределения F( x _i ) по предполагаемой формуле. Понятно, что теоретические и эмпирические значения не совпадают. Если они различаются незначительно, то гипотезу о предполагаемом законе распределения следует принять. Если различие значительно, то гипотезу надо отвергать. В критерии Колмогорова величина, характеризующая различие между F^(x) и F(x) - это наибольшая из разностей

 _i =  F^(x _i) - F(x _i) 

Наибольшая из этих разностей как раз и служит мерой отклонения между двумя функциями . Если она не превосходит критического значения _{, n} ( ,n) , определяемого по специальным таблицам , то гипотеза принимается. Если превосходит, то отвергается.

7