2) Если;если

3)

множество w_xy линейных операторов, действующих из в, есть конечномерное линейное пространство. Если оно является вещественным или комплексным, то его можно превратить в метрическое пространство, введя в нем каким-либо образомнорму.

Норму оператора можно определить аксиоматически через его матрицу. Если каждому оператору поставить в соответствие норму его матрицы, то тем самым вводится норма в пространстве операторов, и наоборот: любая норма оператора порождает при фиксированных базисах норму матрицы.

Пусть из размерностьювразмерностьюn действует оператор , заданный своей матрицей. Пространстваизаданны своими нормамии. Нормуоператораназываютсогласованной с нормами и, если для всехвыполняется соотношение:

, (4)

где .

Норма оператора называетсяподчинённой (или индуцированной) векторными нормами в пространствах ,тогда, когда:

, (5)

где sup – «___________»: точная верхняя грань.

Задавая различные нормы в пространствах размерностью n, можно получить, индуцировать нормы операторов.

Например: вектор с нормой(пространство двумерное) индуцирует норму называемуюспектральной.

(6)

где - максимальное собственное число.

Для вектора x в пространстве с нормой

,

индуцируется – норма оператора A:

(7)

эту норму называют столбцевой или октаэдрической.

Вектор из пространствапорождает- норму:

, (8)

называемою строчной или кубической.

Одной из важнейших согласованных норм является евклидова норма, которая не является индуцированной.

В линейном пространстве квадратных матриц порядканорму матрицы и соответствующею ей оператора можно задать следующим образом:

(9)

эту норму называют евклидовой. Здесь .

Кроме того:

(10)

индуцированные нормы операторов обладают следующими свойствами:

1) , Если;

2)

3)

4) - кольцевое свойство нормы

5)

Число обусловленности

Оценить погрешность решения системы ЛАУ с учётом влияния погрешностей матрицы коэффициентови столбца свободных членовможно, используется число обусловленности матрицы:, которое определяется по формуле:

(11)

Число обусловленности всегда положительно и зависит от заданной нормы матриц.

Из равенства:

,

и учитывая кольцевое свойство нормы матрицы можно заключить, что:

(12)

Свойства числа обусловлиности:

1. Для любой невырожденной () матрицыA, число её обусловленности совпадает с числом обусловленности обратной матрицы :

(13)

2. Если норма матриц кольцевая, то

(14)

,

3. Если норма матриц является спектральной (), то число обусловленности симметрической () матрицыравно:

(15)

где ,- максимально и минимальное собственные числа матрицы, собственно (по абсолютной величине).

Чем больше число обусловленности, тем выше погрешность решения СЛАУ при заданном уровне погрешностей входных данных. Погрешность решения СЛАУ можно определить по формуле:

, (16)

где ,

- решение возмущённой системы ЛАУ.

Лекция 8, 9

Билинейные и квадратные формы

1. Билинейные и квадратные формы матрицы.

2. Привидение квадратичной формы к каноническому виду.

3. Признаки положительной и отрицательной определённости.

Билинейные и квадратные формы матрицы

Однородный многочлен второй степени от переменныхс действительными коэффициентами:

, (1)

называют квадратной формой (к.ф.)

К.ф. представляет интерес как способ задания некоторой функции векторного аргумента, определённой в n-мерном пространстве . Если в нём выбрать некоторый базис, то к.ф. (1) можно трактовать как функцию, значение которой определено через координатывектора.

К.ф. от 3-х переменных имеет вид:

, (2)

при этом ,,

F можно представить в виде:

.

К.ф. можно записывать в матричном виде:

, (3)

где – столбец составленный из переменных

–симметричная матрица порядка n, называемая матрицей квадратной формы (м.к.ф.)

Ранг м.к.ф. называют рангом к.ф.

Формы первой степени называется линейными, второй – квадратичными, третий – кубическими, и т.д.

Вместо многочленов от одной переменной часто рассматривают многочлены от двух переменных (например,), а также от нескольких переменных. Первые называют билинейными формами, а вторые – трилинейными формами.

Число каждой из переменных может быть различным.

Билинейная форма при заданном вn-мерном линейном пространстве базисе может быть представлена в виде:

(4)

где ,– коэффициенты векторовx, y в заданном базисе ;

–матрица билинейной формы в заданном базисе .

В матричной форме билинейная форма записывается в виде:

(5)

Рассмотрим процесс преобразования матрицы билинейной формы при переходе к новому базису.

Пусть в пространстве L существует два базиса и. Тогдаи– матрицы данной билинейной формы в указанных базисах.

Известно, что:

, .

Если вектор в старом и новом базисах может быть записан как:

,

то координатные столбцы исвязанны соотношением:

где - матрица перехода от одного базиса к другому.

Т.к. , а значение(билинейная форма) – не зависит от выбора базиса, то

Сравнивая левую и правую части данного выражения получим:

. (7)

Приведение квадратичной формы к каноническому виду

Квадратичную форму вида:

, (8)

не имеющую попарных произведений переменных, называют квадратичной формой канонического вида. Переменные в (8) называются каноническими переменными.

Один из методов преобразования (приведения) к.ф. к каноническому виду путём замены переменных состоит в последовательном выделении полных квадратов. Этот метод называют методом Лагранжа. Квадратичная форма обладает диагональной матрицей, поэтому и форму называют диоганльной.

Рассмотрим метод Лагранжа на примере.

Пример: .

Выделим полный квадрат по .

.

Введя новые переменные и, получим к.ф. канонического вида:

(9)

Метод Лагранжа не всегда применим, поскольку в к.ф. могут отсутствовать переменные, находящиеся во второй степени.

Как установлено ранее, матрица квадратичной формы при переходе к новому базису изменяется по формуле, (7) где– матрица перехода от одного базиса к другому. Если рассматривать евклидово пространство, а старый и новый базисы выбрать ортонормированными, то матрица переходабудет ортогональной (- ортогональная матрица,). При этом и преобразование квадратной формы будет являться ортогональным.

Любую к.ф. ортогональным преобразованием можно привести к каноническому виду. Матрица квадратичной формы является симметричной, поэтому её можно представить в виде:

, (10)

где A – ортогональная матрица,

- диагональная матрица собственных значений.

При этом квадратичная форма будет записана в виде:

, (11)

где - диагональные элементы матрицы(собственные числа).

Одна и та же к.ф. может быть приведена к каноническому виду многими способами, поэтому канонический вид не является однозначно определённым. Несмотря на многообразие канонических видов для заданной к.ф., имеются такие характеристики их коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными.

Например, если к.ф. преобразовалась к виду (11), в котором все - положительны, то соответствующая этой к.ф. функция в линейном пространстве принимает только неотрицательные значения. При этом никакой другой канонический вид не может иметь отрицательных коэффициентов, так как в противном случае, это может означать, что функция имеет и отрицательные значения.

Кроме того, ранг к.ф. не меняется при разных способах привидения к каноническому виду и равен числу отличных от 0 коэффициентов в любом каноническом виде или количеству ненулевых собственных значений матрицы квадратичной формы с учётом их кратности.

Закон инерции квадратичных форм: число положительных и число отрицательных членов в каноническом виде не зависит от способа привидения, то есть для любых двух канонических видов:

(12)

одной и той же квадратичной формы:

1. 

2. 

3. .

Признаки положительной и отрицательной определённости

Квадратичные формы подразделяют на различные типы в зависимости от множества их значений.

Кв. форму , будем называть:

1. положительно (отрицательно) определённой, если для любого ненулевого столбца x выполняется неравенство:

2. неотрицательно (неположительно) определённой, если для любого столбца :

причём существует ненулевой столбец x, для которого .

3. знакопеременной (неопределённой), если существуют такие столбцы и, чтои.

Например:

- положительна определена, так как представляет собой сумму трёх квадратов и поэтому .

- неотрицательно определена, так как является суммой двух квадратов и при этом , а кроме того при,,.

- знакопеременна, так как при ,, а при:.

В таблице 1 представлены критерии для типа к.ф. в зависимости от множества .

Таблица 1.

Тип к.ф.	Множество
Положительно определённая (;)	Все - «+»,
Отрицательно определённая (;)	Все - «-»,
Знакопеременная (:,:)	,
Вырожденная (:,,)

Критерии Сильвестра. Для того, чтобы к.ф. была положительно определённой необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры матрицы этой формы были положительными.

Главные миноры:

, ,…, .

Для того, чтобы квадратичная форма n переменных была отрицательно определена, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, начиная с минуса:

, ,,...,.

Невырожденная к.ф. знакопеременна тогда и только тогда, когда для матрицы к.ф. выполнено хотя бы одно из условий:

1. один из угловых миноров равен нулю;

2. один из угловых миноров чётного порядка отрицателен;

3. два угловых минора нечётного порядка имеют разные знаки.

Отметим что если симметричная матрица положительно определена, то все её диагональные элементы положительны.

Геометрические образцы квадратных форм

Теория к.ф. имеет ряд приложений в математике и в смежных с нею дисциплинах (теоретическая механика). Особую роль она играет в исследовании линий и поверхностей 2-го порядка.

Поверхностью второго порядка в называют множество точек, координатыкоторых в данной прямоугольной системе координат удовлетворяют уравнению:

, (12)

где - действительные коэффициенты.

Поверхность второго порядка в припредставляет собой обычную поверхность в пространстве, а при– кривую на плоскости.

Уравнение (12) можно записать в матричной форме, полагая прии сводя все коэффициентыв симметричную матрицупорядкаn, а слагаемые - в столбец:

(13)

Первое слагаемое в (13) – представляет собой квадратичную форму от координат точки. Её называют квадратичной формой поверхности (12) (кривой при ) второго порядка. Второе слагаемое можно трактовать как координатную запись удвоенного скалярного произведения вектораb на вектор x.

Один из подходов к анализу поверхности второго порядка в , заданной уравнением (13), состоит в подборе такой прямоугольной системы координат, в которой уравнение принимает наиболее простой вид.

Изменение системы координат приводит к преобразованию исходных координат x точки к её новым координатам y по формуле:

, (14)

где - координаты начала новой прямоугольной системы координат относительно старой, а- ортогональная матрица. При этом преобразовании уравнение (13) перепишется:

(15)

или

Уравнение (15) показывает, что параллельный перенос системы координат (14) не изменяет к.ф., а она сама преобразуется по общему правилу преобразования к.ф. при замене базиса /7).

Произведём теперь поворот новой прямоугольной системы координат вокруг её начала.

Если представить перенос (14) системы координат и дальнейший её поворот в матричной форме, то получим следующий вид этих операций:

,

, (16)

где – ортогональная матрица.

После такого двойного преобразования уравнение поверхности второго порядка преобразуется к каноническому виду:

, (17)

или

при условии, если уравнение:

, (18)

разрешено относительно y.

в противном случае уравнение (13) с помощью преобразований (16) будет приведено к каноническому виду:

(19)

(; ;).

Применим уравнения (17) и (19) к рассмотрению уравнения 2-го порядка на плоскости.

В этом случае в уравнениях будут присутствовать только 2 переменные (поскольку плоскость представляет собой n=2 - пространство).

Согласно (17) и (19) каждое уравнение линии второго порядка в надлежащей системе имеет один из видов:

(20)

Перебирая возможные нулевые значения для и, и учитывая знаки встречающихся коэффициентов, приходим к следующим геометрическим образам (и- положительны):

1) - одна прямая

2) - одна точка

3) - две пересекающийся прямые

4) - две параллельные прямые

5) - эллипс

6) - гипербола

7) - парабола

Аналогично общее уравнение 2-го порядка определяет в пространстве поверхность второго порядка.

Лекция 10

Матрица-функция скалярного аргумента

1. Матрица-функция. Определение. Дифференцируемость и интегрируемость матриц.

2. Система обыкновенных дифференциальных уравнений, её матричная запись.

3. Решение однородных систем.

Матрица-функция. Определение. Дифференцируемость и интегрируемость матриц.

Определение: На множестве вещественных чисел задана матричная функция, если каждому числуиз этого множества сопоставлена некоторая матрицафиксированных размеров.

Задание матричной функции скалярного аргумента равносильно заданию m*n числовых функций на множестве , сопоставляющих каждому числуотдельные элементы матрицы. Эти числовые функции называются элементами функции.

(1)

Выражение (1) также записывается так:

(2)

Говорят, что матричная функция непрерывна, или дифференцируема, если её элементы – непрерывные, или дифференцируемые функции от t.

Пусть элементы матрицы (1) имеют производные:

,

тогда.

Производной от матрицы называется матрица, элементы которой есть производные от элементов матрицы:

(3)

Символически (3) записывается как:

, или

,

Если матрица-функция представлена произведением матриц, то её дифференциал может быть представлен в виде:

, (4)

поскольку элемент произведения , который может быть записан как:

имеет следующую производную:

.

Свойства матрицы-функции:

1. Постоянный множитель выносится за знак производной.

2. ,

3. .

Интегралом от матрицы называется матрица, обозначенная как:

элементы которой равны интегралам от элементов данной матрицы:

(5)

Кратко (5) перепишется в виде:

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим сиcтему линейных дифференциальных уравнений сискомыми функциями,, …,:

(6)

где -const.

Введём обозначения:

(7)

(7) представляет собой матрицу решений или векторное решение системы (6).

Матрица производных от решений запишется в виде:

, (8)

а матрица коэффициентов системы дифференциальных уравнений:

(9)

Пользуясь правилом умножения матриц, систему (6) можно записать в матричной форме:

, (11)

где – векторное решение

.

Решение однородных систем дифференциальных уравнений

Пусть

, (12)

где - некоторые числа.

Поскольку система (6) представляет собой систему линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, то частное решение системы будет найдено в виде:

,…, , или

.

Подставляя (13) в (11), пользуясь правилом умножения матрицы на число и правилом дифференцирования матриц, получим:

(14)

(15)

где

- матрица (),

- число,

- вектор столбец ().

Выражение (15) можно переписать в виде:

, (16)

где - единичная матрицаn-го порядка.

или:

(17)

Равенство (17) показывает, что вектор с помощью матрицыпреобразуется в параллельный ему вектор. Следовательно векторявляется собственным вектором матрицы, соответствующий собственному значению.

Перемножим матрицы в выражении (17), получим:

(18)

Число можно определить решая характеристическое уравнение (19):

, (19)

или .

Пусть все корни различны, тогда для каждогоопределяется матрица значений:

.

Решение системы (6) в матричной форме, запишется как:

, (20)

где - произвольные постоянные.

, (21)

Лекция 11

Функции от матриц

1. Определение с помощью степенных рядов.

2. Условие сходимости матричных рядов.

3. Стандартные разложения.

Определение с помощью степенных рядов

Пусть - некоторая функция комплексной переменной, использующаяся прии обладающая разложением вида:

, (1)

где - комплексные числа.

Также:

(2)

Выражения (1), (2) характеризуют степенной ряд с радиусом сходимости .

Заменяя формально переменную на квадратную матрицупорядка, получим матричный ряд:

(3)

Конечные суммы вида:

, (4)

назовём частичными суммами ряда .

Пусть матрица обладает собственными числами, тогда числа

, ,...,,(5)

условно называются значениями функции имеет значения (5), то считается, что она определена на спектре матрицы.

При этом функция от матрицы также может быть получена по формуле:

, (6)

где ,,- компоненты матрицы.

Условия сходимости матричных рядов

1-е условие сходимости

Ряд (2) называется сходящимся к матрице , если к ней сходится в выбранной норме последовательность частичных сумм этого ряда, то есть для каждого числанайдётся номертакой, что для всехвыполнено неравенство:

(7)

Если ряд (2) сходится к матрице , то тогдабудет являться суммой ряда:

(8)

Следствие: Для того, чтобы ряд сходился к некоторой матрице необходимо и достаточно, чтобы рядсходился на спектре матрицы().

Каждый элемент общего члена ряда (2) не превосходит по абсолютной величине числа:

(9)

Тогда мажорантой для исходного ряда (2) будет являться ряд:

, (10)

который сходится при , следовательно и исходный ряд сходится при.

Свойства функций от матриц:

1. Если и еслисуществует, т.е. сходится соответствующий матричный ряд, тосуществует и равно:

(11)

2. Если матрица является суммой матриц, т.е.и функции,…, существуют, то существует и равно сумме матриц:

(12)

3. Если - матрица порядкавида:

и , где- радиус сходимости ряда (1), тосуществует и определяется формулой:

(13)

Определим условия сходимости для матричных рядов.

2-е условие сходимости

Пусть дан степенной ряд с кругом сходимости и суммой:

. (14)

Так как степенной ряд можно почленно дифференцировать любое число раз внутри круга сходимости, то ряд (14) сходится на спектре любой матрицы, собственные числа которой попадают внутрь круга сходимости.

Таким образом, если функция разлагается в степенной ряд в круге,

,

то это разложение сохраняет силу, если скалярный аргумент заменить любой матрицей, собственные числа которой лежат внутри круга сходимости на его границе.

Стандартные разложения

Рассмотрим стандартные разложения функций от матриц, соответствующие разложениям скалярного аргумента.

Если матрица имеет собственные числа не выходящие за область сходимости степенного ряда то стандартные функции от этой матрицы, разложенные в ряд Маклорена будут иметь вид:

;

;

;

;

;

(,)

(,)

Формула (6) характеризует интерполяционный многочлен Лагранжа-Сильвестра и удобна для практического применения при определении функции в том случае, если характеристическое уравнение матрицыимеет кратные корни.

Для определения матриц в основную формулу (6) вместопоследовательно подставляют некоторые простейшие многочлены степении из полученных линейных уравнение определяют.

Для матриц второго порядка формула (6) принимает вид:

(6´)

В том случае, если матрица обладает различными собственными числами кратности равной 1, то функцияищется по формуле Сильвестра:

(6´´)

где

Для n=2 формула Сильвестра приобретает вид:

(6´´´)

Лекция 12

1. Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения.

2. Задача Коши для линейного матричного дифференциального уравнения первого порядка.

3. Методы её решения.

Задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида:

(1)

где - аргумент,- неизвестная функция.

Зада Коши дифференциального уравнения n-го порядка состоит в том, чтобы найти решение данного уравнения, которое при заданном значении аргумента , принимает заданные значения, то есть удовлетворяет условиям:

, , … (_о)

Функция

, (2)_о

где - произвольные постоянные, называющиесяобщим решением уравнения (1) в некоторой области на плоскости, если при соответствующем выборе значенийэта функция обращается в любое частное решение, график которого лежит в области.

Уравнение

(3)

называют общим интегралом дифференциального уравнения (1) в области , если при соответствующем выборе значений, оно определит любую интегральную кривую, проходящую в области.

Для дифференциального уравнения 2-го порядка общее решение можно рассматривать как семейство интегральных кривых данного дифференциального уравнения, зависящих от параметров и. Частному решению соответствует одна кривая из этого семейства.

Задача Коши для дифференциального уравнения 2-го порядка состоит в том, чтобы найти интегральную кривую, проходящую через данную (_о) в заданном направлении.