2) Существование и единственность решения слау

Однородная система ЛАУ может иметь и нетривиальное решение. Существование нетривиального решения система линейных алгебраических уравнений эквивалентно линейной зависимости столбцов матрицы коэффициентов A, поскольку линейная зависимость предполагает существование чисел , которые не все равны нулю и такие, что справедливы равенства:

(6)

Теорема 1 (о базисном миноре). Базисные строки (столбцы) линейно независимы. Любая строка (столбец) матрицы является линейной комбинацией базисных строк (столбцов).

В силу данной теоремы линейная зависимость столбцов матрицы , будет иметь место только тогда, когда не все столбцы этой матрицы являются базисными, то есть когда порядокr базисного минора меньше числа её столбцов.

Теорема 2 Однородная система ЛАУ имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда ранг матрицыменьше числаеё столбцов.

Следствие Квадратная однородная система ЛАУ имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов равен нулю.

То есть при рангматрицыбудет меньше числатогда и только тогда, когда.

В общем случае существование решения неоднородной СЛАУ определяется теоремой Кронекера-Капели (теорема 3).

Теорема 3 Для того, что бы линейная система ЛАУ являлось совместной, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы этой системы был равен рангу её основной матрицы.

На вопрос о единственности решения СЛАУ может помочь найти ответ теорема о числе решений (теорема 4).

Теорема 4 Пусть для системы m линейных уравнений с неизвестными выполнено условие совместности, то есть рангматрицы коэффициентов системы равен рангу её расширенной матрицы. Тогда, если ранг матрицы системы равен числу неизвестных (), то система имеетединственное решение. Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (), то система имеет бесконечно много решений, а именно: некоторымнеизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиесянеизвестных определится уже единственным образом.

Структура общего решения

Поскольку СЛАУ можно записать в матричной форме (5), то путём применения операций над векторами, вектор – столбец неизвестныхZ можно определить из выражения:

, (7)

где – обратная матрица.

После преобразований, решение СЛАУ при использовании матричного метода может быть найдено из соотношений:

(8)

или:

, ,

Данное решение СЛАУ называется методом Крамера.

Практическое использование этого метода связано с громоздкими вычислениями (для решения системы уравнений снеизвестными приходится вычислитьопределитель-го порядка). Кроме того, если коэффициент уравнений и свободные члены представляют собой лишь приближённые каких-либо измеримых физических величин или округляются в процессе вычислений, то использование формул Крамера может привести к большим ошибкам, а иногда бывает нецелесообразным.

Пример. Найдём решение СЛАУ:

1);;;;.

Система неоднородна, СЛАУ совместна; так как , то СЛАУ имеет единственное решение.

Лекция №7

Точность решения СЛАУ

1. Возмущение СЛАУ.

2. Норма линейного оператора и его матрицы.

3. Число обусловленности.

Возмущение СЛАУ

При постановке математической задачи, как правило, имеются параметры, которые не фиксированы и могут принимать произвольные значения из некоторых интервалов. В качестве таких параметров могут рассматриваться данные измерения, результаты решения каких-то других задач, результаты экспертных оценок и т.п., которые задаются приближённо. Если при каждом допустимом наборе значений параметров (входных данных математической задачи) задача имеет решение, то возникает зависимость решения от указанных параметров.

Результатом решения математической задачи является вычисление на основе входных данных некоторого набора числовых значений – выходных данных. Как входные, так и выходные данные можно рассматривать в качестве элементов соответствующих нормированных пространств.

Пусть представляют собой векторы входных данных некоторой математической задачи, а- соответствующие или решения, или выходные данные. Решение задачи непрерывно зависит от входных данных, если для любогои для любогосуществует такое, что приполучается, где- некоторая норма в.

Математическую задачу называют корректной, если её решение существует единственно и непрерывно зависит от входных данных.

Понятие корректной задачи может относиться к системам ЛАУ с невырожденной матрицей (), которые при этом имеют единственное решение.

Входными данными задачи решения СЛАУ следует считать элементы её матрицы и правые части уравнений (столбец свободных членов).

Столбец неизвестных и столбецможно трактовать как векторы– мерного арифметического пространства, в котором задана некоторая норма.

Изменение входных данных означает, что наряду с системой

(1)

и с её решением x, надо рассмотреть другую возмущённую систему

(2)

с матрицей и столбцом правых частей, которая отличается от исходной системы возмущением матрицы системы -и возмущением столбца свободных членов. Решением возмущённой системы будет некоторый столбец, отличающийся отна столбец, который называется возмущением решения.

Величины ,,- можно охарактеризовать как абсолютные погрешности соответственно матрицы системы, правой части и решения, если компоненты исходной системы рассматривать как точные. При этом относительные погрешности будут определяться как:

; ;(3)

Корректность задачи решения СЛАУ заключается в том, что малым относительным погрешностям матрицы системы и правой части отвечает малая относительная погрешность решения системы. При этом последнюю оценивают с помощью первых двух погрешностей.

Норма линейного оператора и его матрицы

Множество называется матричным пространством, если каждой паре его элементов поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число, называемое расстоянием, причём выполнены следующие аксиомы:

1)