1) Нулевой оператор – ставит каждому вектору xєX в соответствие нулевой вектор 0єY;

0=0x (2.4)

2) Единичный оператор (e) – ставит в соответствие вектору xєX этот же вектор:

x=Ex (2.5)

3) Оператор b, действующий из пространства X в пространство y согласно выражению

Bx=-Ax (2.6)

называется противоположенным оператором оператору A.

4) Два оператора A, B действующие из X в Y называется равным если выполняется равенство Ax=By (2.7)

Матрица линейного оператора

Поскольку в разных областях математики зачастую приходится оперировать одновременно несколькими множествами, тесно связанными, друг с другом, то использование линейного отображения (оператора) значительно упрощает действия и приводит к оперированию матрицами.

Пусть существует два пространства X,Y. Из X в Y действует линейный оператор A.

Пространство X характеризуется совокупностью базисов e_k, а пространство Y - совокупность f_k. Тогда существует и единственный линейный оператор A, действующий из X в Y, который переводит каждый вектор e_k в соответствующий вектор f_k.

Возьмём произвольный вектор xєX и разложим его по базису пространства X.

x=α₁e₁+α₂e₂+…+α_ne_n (2.7)

тогда, если существует A:

(2.8)

Определение: Линейный оператор A действующий из X в Y, определяется областью значений (образов) Ae₁, Ae₂, …, Ae_m, любого фиксированного базиса e₁, e₂, …, e_m пространства X.

Зафиксируем в X базис e₁, e₂, …, e_m, а в Y – f₁, f₂, …, f_m. Вектор e₁ переводится оператором A в некоторый оператор Ae₁ пространства Y, который, как всякий вектор этого пространства, можно разложить по базисным векторам:

Ae₁=a₁₁f₁ + a₂₁f₂ + … + a_n1f_n

Ae₂=a₁₂f₁ + a₂₂f₂ + … + a_n2f_n

: (2.9)

:

Ae_1ma_1m1 + a_2m2 + … + a_nmf_n

Таким образом, линейный оператор A может быть представлен матрицей коэффициентов:

(2.10)

Матрица оператора A в выбранных базисах. Её столбцами служат координаты векторов Ae₁, Ae₂, …, Ae_m относительно базиса f₁, f₂, …, f_m. Элемент матрицы a_ij определяется следующим образом. К вектору e_j применяют оператор A и y полученного образа берут координату:

a_ij={Ae_j}_i (2.11)

Далее выясним как выражаются координаты произвольного вектора x и элементы матрицы оператора.

Пусть:

, (2.12)

тогда:

(2.13)

сравнивая (2.12) и (2.13) видно, что

, i=1,2,…,n (2.14)

… Координатное равенство (2.15)

каждый линейный оператор при фиксированных базисах в пространствах X, Y порождает соотношения (2.15), связывающие координаты образа и прообраза. Для определения координат образа необходимо вычислить левые части соотношений. А для нахождения координат прообраза, необходимо решать систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных α₁, α₂, …, α_m. Матрица этой системы совпадает с матрицей оператора.

Аксиома: Каждая n*m – матрица является матрицей некоторого линейного оператора, действующего из m-мерного пространства X в n-мерное пространство Y, при фиксированных базисах в этих пространствах. То есть между линейным оператором и прямоугольной матрицей устанавливается взаимно однозначное соответствие при любых фиксированных базисах.

При фиксированных базисах в пространствах координатное равенство позволяет исследовать действие линейного оператора A. В общем случае матрицы операторов зависят от базисов.

Рассмотрим эту ситуацию.

Пусть e₁, …, e_m, f₁, …, f_m – два базиса одного и того же m-мерного пространства X. Векторы f₁, …, f_m однозначно определяются своими разложениями по базису e₁, …, e_m

f₁=l₁₁e₁ + l₂₁e₂ + … + l_m1e_m

_… (2.16)

f_m=l_1me₁ + l_2me₂ + … + l_mme_m

координаты l_ij определяют матрицу:

(2.17)

Это матрица преобразования координат при переходе от базиса e₁, …, e_m к базису f₁, …, f_m.

Пусть задан вектор xєX, разложенный по вектора обоих базисов:

(2.18)

тогда:

получено, что:

(2.20)

i=1,2, …, m

(2.20) – формулы преобразования координат

то есть в общем виде можно записать

x_e=Lx_f → x_f=L^-1x_e (2.21)

Рассмотрим 2 пространства X, Y, в которых имеется по 2 базиса:

в x: e₁, …, e_m и f₁, …, f_m.

в y: q₁, …, q_n и t₁, …, t_n.

Обозначим через L матрицу преобразования координат от e_m к f_m, а через Q от q_n к t_n то есть:

x_e=Lx_f, y_q=Qy_t (2.22)

одному и тому же оператору A в первой паре базисов (e_m, q_m) соответствует координатное равенство:

y_q=A_qex_e, (2.23)

для второй пары базисов:

y_q=A_qex_e. (2.24)

Получено, что у двух пар базисов для одного и того же оператора A имеется две матрицы A_qe, A_tf.

подставим (2.22) в (2.23):

Qy_t=A_qeL_xf,

От куда

Y_t=(Q^-1A_qeL)x_f. (2.25)

Сравнивая (2.25) и (2.24):

A_tf=Q^-1A_qeL (2.26)

(2.26) – соотношение, связывающие матрицы одного и того же оператора в разных базисах.