Примеры лвп

Примером ЛВП над полем вещественных чисел может являться совокупность коллинеарных и компланарных векторов.

Лемма 1. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости 2-х векторов является их коллинеарность.

Доказательство: Пусть 2 отрезка ненулевые. И линейно зависимые; тогда найдутся такие коэффициентычто

так как , , поскольку существует линейная зависимость векторов,и, то. То естьиколлинеарны.

Таким образом линейное пространство коллинеарных векторов есть одномерное пространство, а его базисом может служить любой ненулевой вектор.

Лемма 2. необходимым и достаточным условием линейной зависимости трёх векторов является их компланарность.

Доказательство: Пусть существует 3 неколлинеарных между собой вектора, которые линейно зависимы тогда найдутся числа не равные нулю такие, чтоесли, то

. То есть с является линейной комбинацией векторов и.

тогда из последнего равенства вытекает, что с равен диагонали параллелограмма, построенного на векторах и. Это означает, что векторыa, b, c лежат в одной плоскости и они являются компланарными.

Линейное пространство компланарных векторов является двухмерным, а его базисом могут служить любые 2 неколлинеарных вектора.

Те же рассуждения относятся и к трёхмерному ЛВП.

Лекция №2

Линейное преобразование векторов из одного линеала в другой

1. Линейное отображение. Оператор преобразования.

2. Матрица линейного оператора. Её преобразование при смене базиса.

3. Диадное преобразование векторов.

2.1. Линейное преобразование векторов. Оператор преобразования.

Один из важнейших понятий в математике является понятие функции. По определению для задания функции необходимо указать два множества X, Y вещественных чисел и сформулировать правило, по которому каждому числу из множества X (xєX) ставиться в соответствие (yєY). Это правило и представляет собой однозначную функцию вещественного переменного x, заданную на множестве X.

При введении понятия функции в матричной алгебре множества X и Y могут быть не только множествами вещественных чисел, но и множество векторов и др. При этом правило, по которому каждому элементу xєX ставиться в соответствие единственный элемент yєY называеться оператором. Результат применения оператора A к элементу x обозначается:

y=A(x); y=Ax (2.1)

При этом говорят: оператор A действует из X в Y или отображает X в Y.

Множество X – область определения оператора A.

Множество Y – область значений оператора A.

Элемент y – образ элемента x.

Элемент x - прообраз элемента y.

Оператор A называют отображением.

В курсе рассматриваются линейные отображения, так как их областью определения является линейное пространство и их свойства связаны с операциями над векторами линейного пространства.

Определение: Пусть заданы множества X, Y над одним и тем же полем вещественных чисел P. x – область определения A, y – область значений A. Оператор A называется линейным, если

1) свойство дистрибутивно: A(αu+βv)=αAu+βAv, (2.2)

где u,vєX, α,βєP.

2) A(αx)=αAx (2.3)

Свойства линейного оператора (отображения) A: