Свойства лп

1. В линейном пространстве для каждого элемента x имеет место равенство:

–

Доказательство:

введём ,

,

,

,

.

2. 

3. 

4. либо , либо.

Линейная зависимость и не зависимость векторов

Пусть – некоторое линейное векторное пространство и – его векторы. Тогда выражение

, (3.1)

где – коэффициенты, числа из поля, называется линейной зависимостью между векторами.

–линейная комбинация векторов.,

Определение. Конечная система векторов какого-нибудь линейного пространства называется линейно зависимой, если по меньшей мере один из коэффициентов () отличен от нуля. В противном случае () система векторов– линейно независима.

Свойство 1: Если некоторые векторы линейно зависимы, то и вся система – линейно зависима.

Доказательство:

Пусть, (3.2)

Тогда Так как .

Свойство 2: если среди векторов есть хотя бы один нулевой вектор, то вся система линейно зависима.

Доказательство:

(3.3)

есть линейная зависимость векторов по определению.

Свойство 3: Если система ненулевых векторов , рассматриваемых в определённом порядке, линейно зависима, то по меньшей мере один из этих векторов можно выразить линейно через остальные. И наоборот: если один вектор системы можно выразить через остальные, то система всех векторов линейно зависима.

Доказательство:

Пусть между ненулевыми векторами существует линейная зависимость:

. (3.4)

Пусть , причём иначе , что противоречит условию.

Тогда:

то есть создана линейная зависимость вектора a_k от остальных .

Доказательство: .

, → система линейно зависит.

Базис и размерность линейного векторного пространства

Мы уже говорили о том, что система векторов является зависимой, если хотя бы один вектор может быть выражен линейно через остальные векторы. То есть остальные векторы в своей совокупности могут быть и линейно независимыми. Это записывают так:

(4.1)

При этом говорят, что вектор x разложен по векторам или побазису. То есть совокупность независимых векторов – является базисом некоторого линейного пространства.

Например:

Определение. Любые n независимых векторов пространства , выходящие из одной точки и не лежащие в одной плоскости составляютбазу пространства A или являются базисом.

Пусть дано пространство векторов, выходящих из одной точки.

Векторы – линейно независимы, так как один из них не может быть выражен через другие два. В противоположенном случае он должен являться диагональю параллелограмма, построенного на двух других векторах. Но все векторы лежат в разных плоскостях, а не в одной.

при этом любой вектор пространстваможет быть выражен линейно черезa₁, a₂, a₃

(4,2)

Таким образом любой вектор в пространстве может быть разложен по базису. При этом пространствоявляется трёх мерным, так как разложение происходит по трём базисам.

Если речь идёт о векторах, лежащих в одной, двух, трёх, n-плоскостях, то говорят, что размерность пространства .

Числа – являются координатами элементав базисе.

Определение. Натуральное число n называется размерностью линейного пространства и обозначается символом, если в этом пространствеимеетсялинейно независимых элементов (векторов), а любыеэлементов линейно зависимые.

В качестве базиса можно взять любые n-линейно независимых векторов.

1. Для того, что бы 2 вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарными

2. Для того, что бы 3 вектора были линейно зависимыми необходимо и достаточно, чтобы они были компланарными.