4) Если , то

. (11)

Решение неоднородных систем ЛДУ

Покажем, как при помощи матрицанта выражается общее решение системы линейных дифференциальных уравнений с правой частью (неоднородные):

, (12)

где ,- непрерывные функции в интервале изменения аргумента.

Вводя столбцевые матрицы (векторы и) и квадратную матрицу, перепишем эту систему в виде:

(13)

Будем искать решение уравнения (13) в виде:

, (14)

где - неизвестный столбец, зависящий от.

Подставим (14) в (13), получим:

, откуда:

. (15)

проинтегрируем (15):

, (16)

где - произвольный постоянный вектор.

Подставим (16) в (14), получим:

(17)

Если назначить , то.

Тогда (17) примет вид:

, (18)

где - матрица Коши.

Если коэффициенты системы (1) постоянные, то, пользуясь правилом вынесения за знак матрицы общего множителя всех членов матрицы, можно записать:

Тогда выражение (4) примет вид:

. (4')

Мультипликативный интеграл

Рассмотрим матрицант . Разобьем интервалначастей, введя промежуточные точкии положим(;). Тогда на основании первого свойства матрицанта получим:

. (19)

Выберем в интервале промежуточную точку().

Тогда, считая малыми величинами первого порядка, при вычислениис точностью до малых второго порядка можно применять. Тогда

, (20)

где - сумма членов, начиная со второго порядка малости.

Из (19) и (20) находим:

. (21)

. (22)

Переходя к пределу при неограниченном увеличении числа интервалов разбиения и стремлении к нулю длин этих интервалов (при предельном переходе малые члены исчезают), получаем точные предельные формулы:

(23)

(24)

Выражение стоящее под знаком предела в правой части (24), представляет собой интегральное произведение.

Его предел называется мультипликативным интегралом и обозначается символом:

(26)

Равенства (23), (24) могут использоваться для приближенного вычисления матрицанта.

Мультипликативная производная (стр. 434 Гантмахер)

Введём понятие мультипликативной производной:

(27)

Операции ивзаимно обратны:

Если , то

, ()

. (28)

Дифференциальные формулы:

Интегральные формулы:

.

Лекция 14

Системы линейных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами. Устойчивость их решений

1. Матрица монодромин. Мультипликаторы.

2. Характеристически показатели.

3. Свойства решений, определяемые характеристическими показателями и мультипликаторами.

Матрица монодромин. Мультипликаторы

Пусть дана система линейных дифференциальных уравнений вида:

. (1)

Тогда будем считать, что

, (2)

где .

Это означает, что все коэффициенты системы

(3)

являются периодическими функциями от с периодом.

Матрицант уравнения (1) удовлетворяет в этом случае тождеству:

, . (4)

Тогда перепишем (2) с учётом (4); используя интегральный дифференциал:

. (5)

Выражение (5) подтверждает условие (2).

Матрица называется матрицей монодромин, а её собственные числа – мультипликаторы системы (3) или уравнения (1). Совокупность мультипликаторов называется спектром уравнения (1).

Матрица монодромин является значением в конце периода матрицыфундаментальной системы решений, определённой начальным условием, то есть матрицанта. Под мультипликаторами понимаются корни уравнения:

. (6)

Уравнение (6) – характеристическое уравнение системы (3).

Пусть - собственный вектор матрицы монодромин, отвечающий некоторому мультипликатору, то есть

. (7)

Рассмотрим решение уравнения (1) с начальным условием. Оно выражается через матрицан в виде:

. (8)

Используя (2) и (3), получим:

, или

. (9)

(9) показывает, что каждому мультипликатору отвечает решение уравнения (1).

Обозначим через постоянную матрицу порядка:

, (10)

где под понимается одно из решений матричного уравнения

. (11)

Обозначив через матрицу-функцию, определённую формулой:

(12)

Используя (2) найдём:

.

Таким образом, матрицант уравнения (1) может быть представлен в виде:

, (13)

где - периодическая матрица с периодомпорядкаи при этом- неособая матрица, непрерывная с интегрируемой кусочно-непрерывной производной и.

Если в уравнении (1) матрица вещественная для всех значений, то матрицантбудет также вещественным для всех. Если при этом среди мультипликаторов уравнения (1), то есть среди корней характеристичного уравнения (6) нет вещественных отрицательных, то в (13) можно матрицыисчитать вещественными.

В общем случае вещественных периодических коэффициентов матрицант можно представить в виде:

, (14)

где - вещественная постоянная матрица,

- вещественная матрица-функция, удовлетворяющая условию:

, (15)

а - некоторая вещественная матрица такая, что:

, (16)

Характеристические показатели. Общее заключение об устойчивости

Выражение (13) показывает, что такие свойства, как устойчивость, неустойчивость тривиального решения (ограниченность или неограниченность всех решений при ), порядок роста или убывания прирешений системы (1) определяются матрицей.

Поэтому для приложений достаточно охарактеризовать матрицу или её собственные значения.

Собственные числа матрицы называются характеристическими показателями системы (3).

Из (13) следует, что каждому характеристическому показателю отвечают решения уравнения (1) вида:

, (17)

где .

Пусть , тогда решение, удовлетворяющее условиюимеет вид:

,

где .

И обратно, если найдено решение вида (17), то число - характеристический показатель. Из (17) получили:

, (18)

то есть число - мультипликатор уравнения (1), при этом- собственное число матрицы. Поскольку всегда существует матрица (10) с собственным значением, то число- будет характеристическим показателем.

Таким образом, характеристический показатель связаны с мультипликаторамиформулой:

. (19)

Свойства решений, определяемые характеристическими показателями и мультипликаторами

Из общего определения устойчивости по Ляпунову следует, что тривиальное решение системы (3) устойчиво тогда и только тогда, когда все решения системы (3) ограничены при , и асимптотически устойчиво, если все решения системы (3) стремятся к нулю при.

Тривиальное решение системы (3) устойчиво тогда и только тогда, когда характеристические показатели системы (3) имеют неположительные вещественные части. В противном случае тривиальное решение неустойчиво.

Асимптотическая устойчивость тривиального решения системы (3) будет иметь место тогда и только тогда, когда все характеристические показатели имеют отрицательные части.

Вместо характеристических показателей можно говорить о мультипликаторах.

. (20)

В приведённой таблице свойства решений поставлены в зависимость от значения характеристических показателей и мультипликаторов.

Свойство решений
Устойчивость тривиального решения	Вещественные части неположительны	Внутри или на единичной окружности
Асимптотическая устойчивость	Вещественные части отрицательны	Внутри единичной окружности
Неустойчивость тривиального решения	Вещественная часть положительна	Вне единичной окружности
Наличие периодического решения	Для некоторого : - целое число	Один из мультипликаторов равен 1
Антипериодическое решение

Лекция 14

Локализация корней характеристического многочлена

Задача локализации характеристических чисел матрицы состоит в нахождении условий и оценок, позволяющих по элементам матрицы указать приблизительно расположение корней её характеристического многочлена на комплексной плоскости.

Локализация характеристических чисел применяется к различным задачам теории устойчивости обыкновенных дифференциальных уравнений, нахождения собственных векторов и собственных значений.

Произведём оценку характеристических чисел.

Спектральным радиусом матрицы заключены между её наименьшим и наибольшим сингулярными числами.

, (1')

где ,- максимальное и минимальное сингулярные числа матрицы.

Мнимая и действительная части характеристического числа определяются как:

(2')

Матрица порядкаимеет доминирующую главную диагональ, если каждый её диагональный элемент по модулю больше суммы модулей остальных элементов той же строки:

для всех . (3')

Если матрица имеет доминирующую главную диагональ, то её определитель не равен нулю.

Применительно к транспонированной матрице данные условия также соблюдаются, но только в отношении столбцов:

.

Рассмотрим условия локализации характеристических чисел матрицы .

Все характеристические числа матрицы содержаться в объединении кругов, изображённых на комплексной плоскости и определяемых из условия:

. (4')

Круги (4') называются локализационными кругами матрицы . Если, то-ый круг стягивается в точку. Например, для единичной матрицы объединение кругов состоит из одной точки.

Введём перед недиагональными элементами матрицы множительи будем рассматривать матричную функциюдляс элементамиипри. Если, то радиусы кругов матрицыстремятся к нулю, а центры остаются на месте.

Коэффициенты характеристического многочлена матрицы - есть многочлены от её элементов и, следовательно, непрерывные функции от. Каждый из корней при измененииот 1 до 0 описывает на комплексной области непрерывную дугу. То есть для каждого характеристического числаматрицынайдётся непрерывная дуга, начинающаяся ви оканчивающаяся в некоторой точке, причём в каждой из этих точек кончается хоть одна из дуг.

Пример:

, .

Характеристически числа:

, .

.

.

.

1) ,

2) ,

,

, .

,

, .

Из рисунков видно следующее. При изменении от 1 до 0 характеристические числа расходятся из точки (-3) в точки (-1) и (-5). Если, то в меньший кругне попадает ни одно характеристическое число. Приодно из них лежит в меньшем круге, а одно в большеми оба круга не пересекаются.

Если один из локализационных кругов матрицы не пересекается с остальными, то в нём лежит хотя бы одно характеристическое число.

С учётом кратностей локализационных кругов и характеристических чисел, множество из локализационных кругов, не пересекающихся с остальнымикругами, содержит ровнохарактеристических чисел.

Если некратный локализационный круг вещественной матрицы не пересекается с остальными, то в нём лежит вещественный корень.

При помощи локализационных кругов можно получить оценки для вещественных частей и модулей характеристических чисел.