Лекция №1 Линейное векторное пространство

1. Понятие линейного векторного пространства (ЛВП).

2. Линейная зависимость векторов.

3. Базис и размерность ЛВП.

4. Примеры ЛВП.

Введение

В любой области деятельности нам постоянно приходиться рассматривать различные совокупности объектов, объединенных некоторым общим признаком. Например. Говорим о совокупности точек некоторой окружности на плоскости, мы говорим объектах – точках плоскости, которые объединены тем свойством, что все они равно удалены от некоторой фиксированной точки. Определение: Совокупность объектов, объединённых некоторым общим признаком, называют множеством, а сами объекты – элементами множества. Множества могут быть конечными, при этом все их элементы могут быть перечислены; и бесконечные. При этом множество задают путём указания характеристического свойства.

В курсе множество будем обозначать прописными латинскими буквами , а их элементы – малыми.

Множества могут быть числовыми и нечисловыми. Элементом нечислового множества может явиться вектор (направленный отрезок). Вектор характеризуется числом (модулем) и направлением. Над этими множествами также могут осуществляться алгебраические операции, к которым относятся операции сложения и умножения. Алгебраическая операция – операция над двумя элементами принадлежащим одному или нескольким множествам.

Условимся обозначать векторы латинскими строчными буквами , а числа – греческими.

Известно, что векторы, образующие некоторое нечисловое множество обладают следующими свойствами:

Свойства сложения векторов:

1. Каждой паре векторов отвечает вектор, называемый суммойx и y, причём:

1. сложение коммутативно

2. сложение ассоциативно

3. существует единственный нулевой вектор 0 такой, что для любого

4. для каждого вектора существует единственный противоположенный вектор () такой, что.

Свойства произведения векторов:

2. Каждой паре ,, где– число,– вектор, отвечает вектор, называемый произведениеми, причём:

2.1) умножение на число ассоциативно

2.2) для любого вектора.

Свойства связи операций «+» и «*».

3. Операции сложения и умножения связаны между собой следующими соотношениями:

3.1) умножение на число дистрибутивно относительно сложения векторов:

3.2) умножение на вектор дистрибутивно относительно сложения чисел:

Понятие линейного векторного пространства

Пусть существует множество и множество, называемое полем произвольной природы, элементами которого являются числа.

Над элементами поля производятся те же алгебраические операции, что и над векторами с соответствующими свойствами аддитивности, коммутативности и дистрибутивности.

Определение. Множество называетсялинейным векторным пространством над полем , операции сложения и умножения на числа из, причём выполнены аксиомы 1.1 – 1.4, 2.1 – 2.2, 3.1 – 3.2.

Элементами любого линейного пространства являются векторы. Множество векторов во всём пространстве является линейным пространством над полем вещественных чисел.

В зависимости от вида числового поля (рациональные, вещественные, комплексные числа), линейное пространство может быть рациональным, вещественным, комплексным.

Аксиомы 1.1 – 1.4 – аксиомы сложения, 2.1 – 2.2 – аксиомы умножения, 3.1 – 3.2 – аксиомы связи операций «+» и «*».