Обратный ход метода Гаусса: преобразование полученной ступенчатой матрицы к матрице, в первых n столбцах которой содержится единичная матрица , последний, (n+1)-й, столбец этой матрицы содержит решение системы.

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Пусть функция определена в окрестности и для любого > 0 найдётся такое , что

, лишь только

тогда говорят, что  — бесконечно малое порядка .

Пусть  — вещественнозначная функция, заданная на отрезке . Эту функцию называют бесконечно дифференцируемой на интервале , если

для любого и любого . Таким образом, локально, в окрестности любой точки отрезка, функция сколь угодно хорошо приближается многочленом. Гладкие на отрезке функции образуют кольцо гладких функций .

Коэффициенты

Эти функции называют производными функции . Первая производная может быть вычислена как предел

.

Оператор, сопоставляющий функции её производную обозначают как

При этом для двух гладких функций f и g верно

и

Оператор, обладающий указанными свойствами, называют дифференцированием кольца гладких функций.

Всякая аналитическая функция, голоморфная на отрезке , является гладкой функцией, но обратное неверно. Главное различие аналитических и гладких функций состоит в том, что первые полностью определяются своим поведением в окрестности одной точки, вторые — нет. Напр., гладкая функция может быть равна постоянной в окрестности одной точки, но не быть постоянной всюду. Элементарные функции в своей (открытой) области определения являются аналитическими, а, следовательно, и гладкими функциями. Однако, в отличие от аналитических функций, гладкие функции могут быть заданы на разных интервалах разными элементарными выражениями.

5.Функция. Способы задания функции.

Если поезд движется с постоянной скоростью v км/ч, то путь s км, пройденный за время t, вычисляется по формуле s = vt. Здесь v обозначает какое – то число, а s  и t изменяются в каждый момент движения. Будем находить при данной постоянной скорости величину s в зависимости от времени движения t. Тогда t называется независимой переменной или аргументом, s  называется зависимой переменной или функцией. Зависимость между аргументом t и функцией s записывается s(t).

Запись s(t) означает, что берутся произвольные отрезки пути и устанавливается, за какое время (при данной постоянной скорости v) может быть пройден этот путь. Например, если автомобиль движется со скоростью 50 км/ч, то на путь 100 км потребуется 100 км : 50 км/ч = 2 ч, на путь в 25 км ему потребуется 1/2  ч, на путь в 150 км/ч – 3 ч.

Если даны две переменные х и y, то говорят, что переменная y является функцией от переменной х, если задана такая зависимость между этими переменными, которая позволяет для каждого значения х однозначно определить значение у.

Запись F = у(х) означает, что рассматривается функция, позволяющая для любого значения независимой переменной х (из числа тех, которые аргумент х вообще может принимать) находить соответствующее значение зависимой переменной у.

Способы задания функции.

Функция может быть задана формулой, например:

у = 3х² – 2.

Давая произвольные значения независимой переменной х, вычисляют с помощью этой формулы соответствующие значения зависимой переменной у. Например, если х = -0,5, то с помощью формулы находим, что соответствующее значение у равно

3 · (-0,5)² – 2 = -1,25

Взяв любое значение, которое может принимать аргумент х в формуле у = 3х² – 2, можно с её помощью вычислить то единственное значение функции, которое ему соответствует.

Функция может быть задана, например, таблицей:

С помощью данной таблицы можно установить, что значению аргумента – 1 соответствует значение функции 1; значению х = 2 соответствует у = 10 и т.д. При этом любому значению аргумента, включённого в таблицу, соответствует только одно значение функции.

Функция может быть задана графиком. С помощью графика можно установить, какое значение функции соответствует указанному значению аргумента. Обычно это приближённое значение функции.

Свойства функции, которые необходимо учитывать при построении её графика:

1) Область определения функции.

Область определения функции, то есть те значения, которые может принимать аргумент х функции F =y (x).

2) Промежутки возрастания и убывания функции.

Функция называется возрастающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х₁ и х₂, причём х₁ > х₂, то у(х₁) > у(х₂).

Функция называется убывающей на рассматриваемом промежутке, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции у(х). Это означает, что если из рассматриваемого промежутка взяты два произвольных аргумента х₁ и х₂, причём х₁ < х₂, то у(х₁) < у(х₂).

3) Нули функции.

Точки, в которых функция F = y (x) пересекает ось абсцисс (они получаются, если решить уравнение у(х) = 0) и называются нулями функции.

4) Чётность и нечётность функции.

Функция называется чётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = у(х).

График чётной функции симметричен относительно оси ординат.

Функция называется нечётной, если для всех значений аргумента из области определения

у(-х) = -у(х).

График чётной функции симметричен относительно начала координат.

Многие функции не являются ни чётными, ни нечётными.

5) Периодичность функции.

Функция называется периодической, если существует такое число Р, что для всех значений аргумента из области определения

у(х + Р) = у(х).

6. Числовые последовательности и их пределы

Предел числовой последовательности — предел последовательности элементов числового пространства. Числовое пространство — это метрическое пространство, расстояние в котором определяется как модуль разности между элементами

Понятие предела последовательности вещественных чисел формулируется совсем просто, а в случае комплексных чисел существование предела последовательности равносильно существованию пределов соответствующих последовательностей вещественных и мнимых частей комплексных чисел.

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. Каждое вещественное число может быть представлено как предел последовательности приближений к нужному значению. Система счисления предоставляет такую последовательность уточнений. Целые и рациональные числа описываются периодическими последовательностями приближений, в то время как иррациональные числа описываются непериодическими последовательностями приближений.^[1] В численных методах, где используется представление чисел с конечным числом знаков, особую роль играет выбор системы приближений. Критерием качества системы приближений является скорость сходимости. В этом отношении, оказываются эффективными представления чисел в виде цепных дробей.

Число называется пределом числовой последовательности , если последовательность является бесконечно малой, т. е. все её элементы, начиная с некоторого, по модулю меньше любого заранее взятого положительного числа.

В случае, если у числовой последовательности существует предел в виде вещественного числа , её называют сходящейся к этому числу. В противном случае, последовательность называют расходящейся. Если к тому же она неограниченна, то её предел полагают равным бесконечности.

Кроме того, если все элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют положительный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен плюс бесконечности.

Если же элементы неограниченной последовательности, начиная с некоторого номера, имеют отрицательный знак, то говорят, что предел такой последовательности равен минус бесконечности.

Частичный предел последовательности — это предел одной из её подпоследовательностей.

Верхний предел последовательности — это наибольшая из её предельных точек.

Нижний предел последовательности — это наименьшая из её предельных точек.

7. Предел функции.Односторонние пределы.

Преде́л фу́нкции (предельное значение функции) в заданной точке, предельной для области определения функции, — такая величина, к которой стремится рассматриваемая функция при стремлении её аргумента к данной точке.

Предел функции является обобщением понятия предела последовательности: изначально под пределом функции в точке понимали предел последовательности элементов области значений функции, составленной из образов точек последовательности элементов области определения функции, сходящейся к заданной точке (предел в которой рассматривается); если такой предел существует, то говорят, что функция сходится к указанному значению; если такого предела не существует, то говорят, что функция расходится.

Наиболее часто определение предела функции формулируют на языке окрестностей. То, что предел функции рассматривается только в точках, предельных для области определения функции, означает, что в каждой окрестности данной точки есть точки области определения; это позволяет говорить о стремлении аргумента функции (к данной точке). Но предельная точка области определения не обязана принадлежать самой области определения: например, можно рассматривать предел функции на концах открытого интервала, на котором определена функция (сами концы интервала в область определения не входят).

В общем случае необходимо точно указывать способ сходимости функции, для чего вводят т.н. базу подмножеств области определения функции, и тогда формулируют определение предела функции по (заданной) базе. В этом смысле система проколотых окрестностей данной точки — частный случай такой базы множеств.

Поскольку на расширенной вещественной прямой можно построить базу окрестностей бесконечно удалённой точки, то оказывается допустимым описание предела функции при стремлении аргумента к бесконечности, а также описание ситуации, когда функция сама стремится к бесконечности (в заданной точке). Предел последовательности (как предел функции натурального аргумента), как раз предоставляет пример сходимости по базе «стремление аргумента к бесконечности».

Отсутствие предела функции (в данной точке) означает, что для любого заранее заданного значения области значений и всякой его окрестности сколь угодно близко от заданной точки существуют точки, значение функции в которых окажется за пределами заданной окрестности.

Если в некоторой точке области определения функции существует предел и этот предел равен значению функции в данной точке, то функция оказывается непрерывной (в данной точке).

Односторо́нний преде́л в математическом анализе — предел числовой функции, подразумевающий «приближение» к предельной точке с одной стороны. Такие пределы называют соответственно левосторо́нним преде́лом (или преде́лом сле́ва) и правосторо́нним преде́лом (преде́лом спра́ва).

Односторонний предел по Гейне

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, больших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякой последовательности , состоящей из точек, меньших числа , которая сама сходится к числу , соответствующая последовательность значений функции сходится к числу .^[1]

Односторонний предел по Коши

• Число называется правосторонним пределом (правым пределом, пределом справа) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .

• Число называется левосторонним пределом (левым пределом, пределом слева) функции в точке , если для всякого положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число , такое, что для всех точек из интервала справедливо неравенство .^[1]

8 Свойства пределов. Замечательные пределы.

Обозначение предела

Предел функции обозначается как или через символ предела: . Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Предел суммы

Предел суммы двух функций равен сумме пределов этих функций:

Расширенное правило суммы

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициент можно выносить за знак предела:

Предел произведения

Предел произведения двух функций равен произведению пределов этих функций (при условии, что последние существуют):

Расширенное правило произведения

Предел частного

Предел частного двух функций равен отношению пределов этих функций при условии, что предел знаменателя не равен нулю:

Предел степенной функции

где степень p – действительное число. В частности,

Если f ( x ) = x, то

Предел показательной функции

где основание a > 0.

Предел логарифмической функции

где основание a > 0.

Теорема "о двух милиционерах"

Предположим, что для всех x близких к a, за исключением, быть может, самой точки x = a. Тогда, если

то

То есть функция f (x) остается "зажатой" между двумя другими функциями, стремящимися к одному и тому же пределу L.

Замеча́тельные преде́лы — термин, использующийся в советских и российских учебниках по математическому анализу для обозначения некоторых широко известных математических тождеств со взятием предела. Особенно известны:

• Первый замечательный предел:

• Второй замечательный предел:

Первый замечательный предел

Доказательство

Рассмотрим односторонние пределы и и докажем, что они равны 1.

Пусть . Отложим этот угол на единичной окружности (R = 1).

Точка K — точка пересечения луча с окружностью, а точка L — с касательной к единичной окружности в точке (1;0). Точка H — проекция точки K на ось OX.

Очевидно, что:

(1)

(где S_sectOKA — площадь сектора OKA)

(из : | LA | = tgx)

Подставляя в (1), получим:

Так как при :

Умножаем на sinx:

Перейдём к пределу:

Найдём левый односторонний предел:

Правый и левый односторонний пределы существуют и равны 1, а значит и сам предел равен 1.

Следствия

Доказательство следствий

Второй замечательный предел

или

Доказательство второго замечательного предела:

Доказательство для натуральных значений x

  Докажем вначале теорему для случая последовательности

По формуле бинома Ньютона:

Полагая , получим:

       (1)

Из данного равенства (1) следует, что с увеличением n число положительных слагаемых в правой части увеличивается. Кроме того, при увеличении n число убывает, поэтому величины возрастают. Поэтому последовательность — возрастающая, при этом

      (2).

Покажем, что она ограничена. Заменим каждую скобку в правой части равенства на единицу, правая часть увеличится, получим неравенство

Усилим полученное неравенство, заменим 3,4,5, …, стоящие в знаменателях дробей, числом 2:

.

Сумму в скобке найдём по формуле суммы членов геометрической прогрессии:

.

Поэтому       (3).

Итак, последовательность ограничена сверху, при этом выполняются неравенства (2) и (3):   .

Следовательно, на основании теоремы Вейерштрасса (критерий сходимости последовательности) последовательность монотонно возрастает и ограниченна, значит имеет предел, обозначаемый буквой e. Т.е.

   Зная, что второй замечательный предел верен для натуральных значений x, докажем второй замечательный предел для вещественных x, то есть докажем, что . Рассмотрим два случая:

1. Пусть . Каждое значение x заключено между двумя положительными целыми числами: , где — это целая часть x.

Отсюда следует: , поэтому

.

Если , то . Поэтому, согласно пределу , имеем:

.

По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов .

2. Пусть . Сделаем подстановку − x = t, тогда

.

Из двух этих случаев вытекает, что для вещественного x.   

Следствия

1. 

2. 

3. 

4. 

5. для ,

6. 

Доказательства следствий

8.Непрерывность функции. Точки разрыва 1-го и 2~гo рода.

Функция у = f (х) называется непрерывной в точке х₀, если в этой точке бесконечно малому приращению аргумента х-х₀= х соответствует бесконечно малое приращение функции

 у—у₀ = у, т. е. если

lim y = lim [ f (х₀ + х) – f (х₀)] = 0.

Этому определению равносильно следующее:

Функция f (х) называется непрерывной в точке х₀, если при х—> х₀ предел функции существует и равен ее частному значе­нию в этой точке, т. е. если lim f(х) = f (x₀).

 x->х₀

Для непрерывности функции f(х) в точке х₀ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1)функция должна быть определена в некотором интервале, содержащем точку х_0.(т. е. в самой точке х₀ и вблизи этой точки);

2) функция должна иметь одинаковые односторонние пределы

 lim f (х) = lim f (x);

 x->х₀ -0  x->х₀ +0   

3) эти односторонние пределы должны быть равны f (x₀).

Функция f (x) называется разрывной в точке х₀, если она опре­делена в сколь угодно близких точках, но в самой точке х₀ не удовлетворяет хотя бы одному из условий непрерывности.

Разрыв функции f(х) в точке х₀ называется конечным, или 1-го рода, если существуют конечные односторонние пределы

 lim f(x) и lim f(х).

 x-> х₀ -0 x-> х₀ +0

 Все другие случаи разрыва функции называются разрывами- 2-го-рода; в частности, если хотя бы один из указанных односторонних пределов окажется бесконечным, то и разрыв функции называется бесконечным.

Скачком функции f(х) в точке разрыва х₀ называется раз­ность ее односторонних пределов lim f(x) и lim f(х) если они различны.

 x-> х₀ -0  x-> х₀ +0 

Если точка х₀ является левой или правой границей области определения функции f(х), то следует рассматривать значения функции соответственно только справа или только слева от этой точки и в самой точке. При этом:

1) если граничная точка х₀ входит в область определения функции, то она будет точкой непрерывности или точкой раз­рыва функции, смотря по тому, будет ли предел функции при х —>х₀ изнутри ее области определения равен или не равен f(х₀);

2) если граничная точка х₀ не входит в область определения функции, то она является точкой разрыва функции.

Функция называется непрерывной в некотором интервале, если она непрерывна во всех точках этого интервала.

Все элементарные функции непрерывны в тех интервалах, в которых они определены.

При отыскании точек разрыва функции можно руководство­ваться следующими положениями:

1. Элементарная функция может иметь разрыв только в от­дельных точках, но не может быть разрывной во всех точках какого-либо интервала.

2. Элементарная функция может иметь разрыв только в той точке, где она не определена, при условии, если она будет оп­ределена хотя бы с одной стороны от этой точки в сколь угодно близких к ней точках.

3. Неэлементарная функция может иметь разрывы как в точ­ках, где она не определена, так и в точках, где она определена; в частности, если функция задана несколькими различными ана­литическими выражениями (формулами) для различных интер­валов изменения аргумента, то она может иметь разрывы в тех точках, где меняется ее аналитическое выражение.

9.Понятие производной. Геометрический и механический смысл.

Рассмотрим некоторую функцию  y = f ( x ) в двух точках  x₀  и  x₀ + :  f ( x₀ ) и  f ( x₀ + ). Здесь через обозначено некоторое малое изменение аргумента, называемое приращением аргумента; соответственно разность между двумя значениями функции:  f ( x₀ + )  f ( x₀ ) называется приращением функции. Производной функции  y = f ( x ) в точке  x₀  называется предел:

Если этот предел существует, то функция   f ( x )  называется дифференцируемой в точке  x₀ . Производная функции   f ( x ) обозначается так:

Геометрический смысл производной.  Рассмотрим график функции  y = f ( x ):

Из рис.1  видно, что для любых двух точек A и B графика функции:  

где  - угол наклона секущей AB.

Таким образом, разностное отношение равно угловому коэффициенту секущей. Если зафиксировать точку A и двигать по направлению к ней точку B, то  неограниченно уменьшается и приближается к 0, а секущая АВ приближается к касательной АС. Следовательно, предел разностного отношения равен угловому коэффициенту касательной в точке A. Отсюда следует: производная функции в точке есть угловой коэффициент касательной к графику этой функции в этой точке. В этом и состоит геометрический смысл производной.

Механический смысл производной. Рассмотрим простейший случай: движение материальной точки вдоль координатной оси, причём закон движения задан:  координата  x  движущейся точки – известная функция  x ( t ) времени  t. В течение интервала времени от  t₀  до  t₀ +   точка перемещается на расстояние:  x ( t₀ + )  x ( t₀ ) = , а её средняя скорость равна:  v_a =  . При  0  значение средней скорости стремится к определённой величине, которая называется мгновенной скоростью  v ( t₀ )  материальной точки в момент времени  t₀ . Но по определению производной мы имеем:

отсюда,  v ( t₀ ) = x’ ( t₀ ) , т.e. скорость – это производная координаты по времени. В этом и состоит  механический смысл производной. Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:  a = v’ ( t ).

10. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования

Рассмотрим следующие вопросы, который касаются функций.

Если функция непрерывна, то она дифференцируема?

Если функция дифференцируема, то она непрерывна?

Ответ на первый вопрос: из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.

Ответ на второй вопрос: из дифференцируемости функции следует ее непрерывность.

Рассмотрим более конкретно каждый вопрос. Чтобы ответить на данные вопросы необходимо доказать озвученый факт или привести пример, который опровергает этот факт.

Найдем производную следующей функции . Хорошо известно, данная функция является непрерывной и, что ее производная будет следующей:

Покажем, что в точке нуль производная не существут. Для этого найдем производную в нуле по определению производной:

данный предел равен 1, если и равен (-1), если , получаем, что предел не существует, следовательно в нуле производной нет и функция в нуле не дифференцируема.

11.Дифференциал функции. Геометрический смысл. Свойства.

Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.

Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать  у/ х=ƒ'(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ'(х)•∆х+α•∆х.

Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых ƒ'(х)•∆х и а•∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:

Поэтому первое слагаемое ƒ'(х) ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.

Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):

dy=ƒ'(х)•∆х.                                             (24.1)

Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.

Так как у'=х'=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.

Поэтому формулу (24.1) можно записать так:

dy=ƒ'(х)dх,                                              (24.2)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ'(х). Теперь обозначение

производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.

Выясним геометрический смысл дифференциала.

Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке  АМ =∆х, |AM₁|=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:

Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ'(х). Поэтому АВ=ƒ'(х)•∆х.

Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.

В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.

12.Правило Лопиталя.

Теорема Лопита́ля (также правило Бернулли — Лопиталя^[1]) — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных.

Теорема Лопиталя:

1. либо ;

2. и дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3. в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции и только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

для конечного предела и

для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении к справа, это отношение можно записать как , где  — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем из отрезка и применим теорему Коши ко всем из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как и  — константы, а и стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где  — бесконечно малая функция при стремлении к справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Если же предел бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.

13.Исследование функций. Общий план исследования функций. Функции нескольких переменных (фнп)

Следует напомнить, что функция у =f (x) называется четной, если f(x)= f(-x). Такая функция симметрична относительно оси ординат.

Функция у =f (x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x) и ее график симметричен относительно начала координат.

y=x² – четная, y=sin (x) – нечетная.

Пример.

Исследовать функцию  и построить ее график.

1)                      Область существования функции Þвся числовая ось.

2)                      Функция всюду непрерывна.

3)               Исследуем на максимум и минимум   y’ = 0

 1-x²= 0 Þ x₁= -1 и  x₂=+1 находим    y”(-1)=0Þ это min ;    это max Þy_max= .

4)           Определим области возрастания и убывания функции:

При - <x<-1Þ y’<0 Þфункция убывает; при-1<x<1Þ y’ >0 Þ функция возрастает; при 1<x<+ Þ y”< 0 Þ функция убывает.

5) Определим интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба.y”=0    x₁= - ;   x₂=0 x₃= .

исследуем y”

при <x<-  Þ y” < 0 кривая выпуклая;

при-   <x<0 Þ y” > 0 кривая вогнута; 

при <0<+  Þ y” > 0 кривая вогнутая,

т. е. точки x₁=-  , x₂₌0 и x₃= -есть точки перегиба.

Рис. 2.32. График функции

14. Функции нескольких переменных. Частные производные, дифференциалы функций нескольких переменных.

Частной производной от функции по независимой переменной называется производная

, вычисленная при постоянном .

Частной производной по y называется производная , вычисленная при постоянном . Для частных производных справедливы обычные правила и формулы дифференцирования.

Пример 1. .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Рассматривая как постоянную величину , получим .

Пример 2.

; ;

; .

Полным приращением функции в точке называется разность , где и произвольные приращения аргументов. Функция называется дифференцируемой в точке , если в этой точке полное приращение можно представить в виде , где .

Полным дифференциалом функции называется главная часть полного приращения , линейная относительно приращений аргументов и , то есть .

Полный дифференциал функции вычисляется по формуле .

Для функции трех переменных .

При достаточно малом для дифференцируемой функции справедливы приближенные равенства ; , которые применяются для приближенного вычисления значения функции

. ()

Пример 3. Вычислить приближенное значение: .

Решение. Полагая, что есть частное значение функции в точке и что вспомогательная точка будет , получим

; ; ; .

Подставляя в формулу (), найдем:

.

Частными производными второго порядка от функции называются частные производные от ее частных производных первого порядка.

Обозначения частных производных второго порядка:

; ;

; .

Смешанные производные, отличающиеся друг от друга лишь последовательностью дифференцирования, равны между собой, если они непрерывны: .

Дифференциалом второго порядка от функции называется дифференциал от ее полного дифференциала, то есть . Если и  – независимые переменные и функция имеет непрерывные производные, то дифференциал второго порядка вычисляется по формуле .

Пример 4. . Найти , , .

Решение. Найдем частные производные: ; . Дифференцируя повторно, получим ;

; .

15. Экстремумы функции 2-х переменных. Необходимые и достаточные условия существования экстремума. Неопределенный интеграл

Пусть Р₀(х₀,у₀) – точка локального экстремума для функции z = f(x,y). Зафиксируем значение одной переменной у = у₀, тогда функция z = f(x,y₀) является функцией одной переменной х, а х = х₀ - ее точка экстремума. По необходимому признаку для функции одной переменной производная в этой точке равна нулю или не существует, т. е. f_x(х₀,у₀) = 0 или не существует. Для функции z = f(x, y) это условие, очевидно, означает, что в точке экстремума частная производная по х равна нулю или не существует. Аналогичные рассуждения можно провести для другой переменной. Таким образом, получаем следующие необходимые условия существования экстремума.

Теорема 1 (необходимые условия существования экстремума)

Если функция z = f(x, y) в точке имеет экстремум, то в этой точке обе частные производные равны нулю (f_x(P₀) = 0, f_y(P₀) = 0) или, по крайней мере, одна из них не существует.

Теорема 1 имеет простой геометрический смысл. Касательная плоскость к поверхности z = f(x, y) в точке экстремума P₀ параллельна плоскости Оху (z_x(P₀) = 0, z_y(P₀) = 0) или не существует.

Необходимые условия существования экстремума остаются справедливыми и для функций большего числа переменных.

Точки, в которых все частные производные первого порядка функции z = f(P) равны нулю или хотя бы одна из них не существует, называются критическими точками. Если в критической точке функция дифференцируема, то все частные производные первого порядка в ней обращаются в нуль. Такую точку часто называют стационарной. Для отыскания стационарных точек функции z = f(x, y) находят частные производные первого порядка и решают систему уравнений

(3)

Пример 1. Найти стационарные точки функции z = x³ + y³ - 3 x y.

Решение. Находим частные производные первого порядка и составляем систему уравнений (3):

или

Решив эту систему, получим две стационарные точки Р₁(0,0) и Р₂(1,1).

Согласно теореме 1 любая точка экстремума является критической точкой функции, но не всякая критическая точка является точкой экстремума, т. е. необходимые условия (теорема 1) не являются достаточными условиями существования экстремума.

Действительно, для функции z = xy точка (0,0) является критической, так как в ней частные производные z_x = y, z_y = x обращаются в нуль. Однако в этой точке функция не имеет экстремума, поскольку в точке (0,0) функция равна нулю, а в любой окрестности данной точки она принимает как положительные, так и отрицательные значения. Следовательно, не существует окрестности точки (0,0), где приращение функции сохраняет знак.

Ответ на вопрос, является ли стационарная точка точкой экстремума, дают достаточные условия существования экстремума, которые будут сформулированы ниже в виде теоремы.

Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума)

Пусть функция z = f(x,y) в стационарной точке Р₀ (х₀,у₀) имеет непрерывные частные производные до третьего порядка включительно. Если А = f_xx (Р₀), B = f_xy (Р₀), C = f_yy (Р₀) и (Р₀) = АС - В², то возможны три случая:

1) при (Р₀) > 0 Р₀ – точка экстремума, причем, в точке Р₀ максимум, когда А <0, и минимум, когда А > 0;

2) при (Р₀) < 0 Р₀ не является точкой экстремума;

3) при (Р₀) = 0 о характере стационарной точки Р₀ никакого заключения сделать нельзя, нужны дополнительные исследования.

Замечание. Приведенные выше условия эквивалентны следующим. Пусть Р₀ – стационарная точка функции z = f(x, y), т. е. d f(Р₀) = 0, тогда:

1) если d²f(Р₀) < 0 при dx² + dy²  0, то f(Р₀) – максимум функции f(x, y);

2) если d² f(Р₀)  0 при dx² + dy²  0, то f(Р₀) – минимум функции f(x, y);

3) если d²f(Р₀) меняет знак, то f(Р₀) не является экстремумом.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию z = (x² - 2y²) e ^{x - y}.

Решение. Найдем стационарные точки функции. Для этого вычислим первые частные производные:

Приравнивая их к нулю, получим систему

Решениями системы являются две стационарные точки: Р₁(0, 0) и Р₂(–4, –2). Для выяснения их характера согласно теореме 2 найдем (Р₁) и (Р₂), вычислив предварительно значения частных производных второго порядка.

Для точки Р₁(0, 0) имеем А = 2, В = 0, С = - 4 и (Р₁) = АС - В ² = - 8 < 0. На основании теоремы 2 делаем вывод, что в точке Р₁ функция экстремума не имеет. Для точки Р₂ соответственно получаем

А = – 6е ^{- 2}, В = 8е ^{- 2}, С = – 12е ^{- 2} и ( Р₂) = АС – В ² =72е ^{- 4} - 64е ^{- 4}= 8е ^{- 4} >0.

Следовательно, Р₂(–4, –2) – точка экстремума, а поскольку А = – 6е ^{- 2} < 0, то Р₂ – точка минимума и минимальное значение функции f(Р₂) = 8е ^{- 2}.

16. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица неопределенных интегралов: Свойства неопределенного интеграла.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная.

Свойства неопределенного интеграла

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f, а, k, C - постоянные величины.









Таблица интегралов

В формулах ниже предполагается, что a, p (p ≠ 1), C - действительные постоянные, b - основание показательной функции (b ≠ 1, b > 0).

Основные свойства неопределённого интеграла

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке  X, и  k – число, то

Короче: постоянную можно выносить за знак интеграла.

Если функции  f ( x )  и  g ( x ) имеют первообразные на промежутке  X , то

Короче: интеграл суммы равен сумме интегралов.

Если функция  f ( x ) имеет первообразную на промежутке X , то для внутренних точек этого промежутка:

Короче: производная от интеграла равна подынтегральной функции.

Если  функция  f ( x )  непрерывна на промежутке  X  и дифференцируема во внутренних точках этого промежутка, то:

Короче: интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс постоянная интегрирования.

17. Методы интегрирования. Непосредственное интегрирование. Метод подстановки. Интегрирование по частям. Определенные и несобственные интегралы

Непосредственное интегрирование

Метод интегрирования, при котором интеграл путем тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, называется непосредственным интегрированием

Метод интегрирования подстановкой заключается во введении новой переменной интегрирования (то есть подстановки). При этом заданный интеграл приводится к новому интегралу, который является табличным или к нему сводящимся. Общих методов подбора подстановок не существует. Умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл Сделаем подстановку где  — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

Или:

В частности, с помощью n-кратного применения этой формулы находится интеграл

где  — многочлен -ой степени.

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Пусть определена на . Разобьём на части с несколькими произвольными точками . Тогда говорят, что произведено разбиение отрезка Далее выберем произвольную точку , ,

Определённым интегралом от функции на отрезке называется предел интегральных сумм при стремлении ранга разбиения к нулю , если он существует независимо от разбиения и выбора точек , то есть

Если существует указанный предел, то функция называется интегрируемой на по Риману.

Определённый интеграл называется несобственным, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f(x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри отрезка [a, b].

18. Интегральные суммы. Определенный интеграл. Связь неопределенного интеграла с определенным. Формула Ньютона-Лейбница.

Множество T = { x_i } точек отрезка [ a, b ], таких, что a = x₀ < x₁ < x₂ < …… < x_T–1 < x_T= b называется разбиением отрезка [ a, b ].

Обозначим Dx_k длину отрезка [ x_k-1 , x_k ]. Тогда максимальное значение Dx_k называется мелкостью разбиения T.

Если множество Т* включает в себя множество Т, то говорят, что разбиение Т* следует за разбиением Т; или что разбиение Т* вписано в разбиение Т.

Для двух разбиений Т и Т* всегда найдется разбиение, вписанное и в Т, и в Т*.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Если функция f(x) задана всюду на отрезке [ a, b ] и задано разбиение Т, то всякая сумма:

называется интегральной суммой Римана функции f.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке [ a, b ], если для любой последовательности разбиений Т_n отрезка [ a, b ], мелкость которых стремится к нулю; и для любого набора точек x_k последовательность интегральных сумм s_Тn имеет один и тот же предел.

Предел последовательности интегральных сумм называют (определенным) интегралом Римана функции f на отрезке [ a, b ] и обозначается .

В интеграле число a называется нижним пределом интегрирования, а b – верхним.

Одним из основных результатов математического анализа является теорема Ньютона – Лейбница:

П усть функция f (x) непрерывна на [a; b], а F (x) – какая-либо первообразная функции f на этом отрезке. Тогда

Таким образом, для вычисления определенного интеграла нужно найти какую-либо первообразную F функции f, вычислить ее значения в точках a и b и найти разность F (b) – F (a).

Пусть f (x) непрерывна на [a; b], g (t) имеет непрерывную производную на [α; β], Тогда если a = g (α), b = g (β), то справедлива формула замены переменной в определенном интеграле:

Если функции u (x) и v (x) имеют на [a; b] непрерывные производные, то справедлива формула интегрирования по частям:

19. Свойства определенного интеграла. Вычисление определенного интеграла по частям. Замена переменной в определенном интеграле.

Интегри́рование по частя́м — один из способов нахождения интеграла. Суть метода в следующем: если подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения двух непрерывных и гладких функций (каждая из которых может быть как элементарной функцией, так и композицией), то справедливы следующие формулы

для неопределённого интеграла:

или

для определённого:

Предполагается, что нахождение интеграла проще, чем . В противном случае применение метода неоправданно.

20. Несобственные интегралы

Определенный интеграл называется несобственным интегралом, если выполняется, по крайней мере, одно из следующих условий:

• Предел a или b (или оба предела) являются бесконечными;

• Функция f (x) имеет одну или несколько точек разрыва внутри интервала [a,b].

Бесконечные пределы интегрирования

Пусть f (x) является непрерывной функцией в интервале [a, ∞). Несобственный интеграл определяется через предел следующим образом:

Рассмотрим также случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (−∞, b]. В этом случае несобственный интеграл определяется как

Если указанные выше пределы существуют и конечны, то говорят что несобственные интегралы сходятся. В противном случае интегралы расходятся. Пусть f (x) является непрерывной функцией на множестве действительных чисел. Тогда справедливо соотношение

Если для некоторого действительного числа c оба интеграла в правой части сходятся, то говорят, что интеграл также сходится; в противном случае он расходится.

Теоремы сравнения

Пусть f (x) и g (x) является непрерывными функциями в интервале [a, ∞). Предположим, что для всех x в интервале [a, ∞).

1. Если сходится, то также сходится;

2. Если расходится, то также расходится;

3. Если сходится, то также сходится. В этом случае говорят, что интеграл является абсолютно сходящимся.

Интеграл от разрывной функции

Пусть функция f (x) непрерывна в интервале [a,b), но имеет разрыв в точке x = b. В этом случае несобственный интеграл определяется в виде

Аналогично можно рассмотреть случай, когда функция f (x) непрерывна в интервале (a,b], но имеет разрыв при x = a. Тогда

Если приведенные выше пределы существуют и конечны, то говорят, что соответствующие несобственные интегралы сходятся. В противном случае они считаются расходящимися. Пусть f (x) непрерывна для всех действительных x в интервале [a,b], за исключением некоторой точки . Тогда справедливо соотношение

и говорят, что несобственный интеграл сходится, если оба интеграла в правой части верхнего равенства сходятся. В противном случае несобственный интеграл расходится.

21 .Дифференциальные уравнения (ду). Основные понятия. Задача Коши. Общие сведения о дифференциальных уравнениях 1-го порядка (ду -1).

Дифференциальное уравнение — уравнение, связывающее значение производной функции с самой функцией, значениями независимой переменной, числами (параметрами). Порядок входящих в уравнение производных может быть различен (формально он ничем не ограничен). Производные, функции, независимые переменные и параметры могут входить в уравнение в различных комбинациях или все, кроме хотя бы одной производной, отсутствовать вовсе. Дифференциальное уравнение порядка выше первого можно преобразовать в систему уравнений первого порядка, в которой число уравнений равно порядку исходного уравнения.

Не любое уравнение, содержащее производные неизвестной функции, является дифференциальным уравнением. Например, не является дифференциальным уравнением.

Порядок, или степень дифференциального уравнения — наивысший порядок производных, входящих в него.

Решением (интегралом) дифференциального уравнения порядка n называется функция y(x), имеющая на некотором интервале (a, b) производные до порядка n включительно и удовлетворяющая этому уравнению. Процесс решения дифференциального уравнения называется интегрированием. Задача об интегрировании дифференциального уравнения считается решённой, если нахождение неизвестной функции удается привести к квадратуре, независимо от того, выражается ли полученный интеграл в конечном виде через известные функции или нет.

Все дифференциальные уравнения можно разделить на обыкновенные (ОДУ), в которые входят только функции (и их производные) от одного аргумента, и уравнения с частными производными (УРЧП), в которых входящие функции зависят от многих переменных. Существуют также стохастические дифференциальные уравнения (СДУ), включающие случайные процессы.

В зависимости от комбинаций производных, функций, независимых переменных дифференциальные уравнения подразделяются на линейные и нелинейные, с постоянными или переменными коэффициентами, однородные или неоднородные. В связи с важностью приложений в отдельный класс выделены квазилинейные (линейные относительно старших производных) дифференциальные уравнения в частных производных.

Важнейшим вопросом для дифференциальных уравнений является существование и единственность их решения. Разрешение этого вопроса дают теоремы существования и единственности, указывающие необходимые и достаточные для этого условия. Для обыкновенных дифференциальных уравнений такие условия были сформулированы Липшицем (1864). Для уравнений в частных производных соответствующая теорема была доказана С. В. Ковалевской (1874)

Решения дифференциальных уравнений подразделяются на общие и частные решения. Общие решения включают в себя неопределенные постоянные, а для уравнений в частных приозводных — произвольные функции от независимых переменных, которые могут быть уточнены из дополнительных условий интегрирования (начальных условий для обыкновенных дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий для уравнений в частных производных). После определения вида указанных постоянных и неопределенных функций решения становятся частными.

Поиск решений обыкновенных дифференциальных уравнений привел к установлению класса специальных функций — часто встречающихся в приложениях функций, не выражающихся через известные элементарные функции. Их свойства были подробно изучены, составлены таблицы значений, определены взаимные связи и т. д.

Развитие теории дифференциальных уравнений позволило в ряде случаев отказаться от требования непрерывности исследуемых функций и ввести обобщённые решения дифференциальных уравнений.

Зада́ча Коши́ — одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при , а решение отыскивается при .

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

1. Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

2. Если решение существует, то какова область его существования?

3. Является ли решение единственным?

4. Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений . Точка задаёт начальные условия.

Уравнение

F(x, y, y ') = 0,

где y = y(x) — неизвестная, непрерывно дифференцируема на (a,b) функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка.

Функция y = y(x) называется решением дифференциального уравнения F(x, y, y ') = 0, если она непрерывно дифференцируема на (a,b) и F(x, y(x), y '(x)) ≡ 0 для всех x из (a,b) .

График решения дифференциального уравнения называют интегральной кривой дифференциального уравнения.

Дифференциальное уравнение 1–го порядка имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения F(x, y, y ' ) = 0 , удовлетворяющего условию y(x₀) = y₀, называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x₀) = y₀ — начальное условие.

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения 1–го порядка, называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = C, называется общим интегралом уравнения.

Частное решение уравнения, записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0, называется частным интегралом уравнения.

Уравнение 1-го порядка, разрешенное относительно производной, называют уравнением, записанными в нормальной форме:

Уравнения первого порядка часто записывают в дифференциальной форме:

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0.

Решение такого уравнения можно искать как в виде y = y(x) , так и в виде x = x(y) .

22. ДУ -1 с разделенными и разделяющимися переменными.

Уравнением с разделенными переменными называется дифференциальное уравнение вида

f(x)dx + g(y)dy = 0

с непрерывными функциями f(х) и g(y).

Равенство

где C — произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения с разделёнными переменными.

Начальное условие для уравнения  f(x)dx + g(y)dy = 0 можно задавать в виде y(x₀) = y₀ или в виде x(y₀) = x₀ .

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференциальное уравнение вида

f₁(x)g₁ (y)dx + f₂(x) g₂(y)dy =0 .

Функции f₁(x), g₁(y), f₂(x), g₂(y) непрерывны в cвоих областях определения и g₁(y)f₂(x) ≠ 0 .

Разделив обе части уравнения на отличное от нуля произведение g₁(y)f₂(x), получим уравнение с разделенными переменными

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

Решение уравнения в области, где g₁(y)f₂(x) = 0 требует специального обсуждения.

23. Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка.

Дифференциальное уравнение вида

где a(x) и b(x) − непрерывные функции x, называтся линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений:

• Использование интегрирующего множителя;

• Метод вариации постоянной.

Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой:

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x)u(x). Общее решение диффференциального уравнения выражается в виде:

где C − произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной

Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное уравнение, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

Задача Коши

Если, кроме дифференциального уравнения, задано также начальное условие в форме y(x₀) = y₀, то такая задача называется задачей Коши. Решение задачи Коши не содержит произвольной константы C. Ее конкретное числовое значение определяется подстановкой общего решения уравнения в заданное начальное условие y(x₀) = y₀.

24. Общие сведения о линейных ду высшего порядка.

Дифференциальное уравнение порядка n вида

y⁽ⁿ⁾(х) + p₁(x) y^(n–1)(х) +… +p_n–1(x) y^'(х) + p_n(x) y(х) = f(x), (1)

где коэффициенты уравнения p_i(x)(i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) – заданные функции, а у(х) – неизвестная функция, называется линейным.

Линейное уравнение (1) называется однородным, если f(x)  0, и неоднородным в противном случае.

Для линейного дифференциального уравнения (ЛДУ) вопрос о существовании и единственности задачи Коши, легко решается на основании следующей теоремы Пикара.

Теорема 1

Если в линейном дифференциальном уравнении (1) все коэффициенты p_i(x) (i = 1, 2, ..., n) и правая часть f(x) непрерывны в интервале (а, b), то при любом х₀  (a, b) существует единственное решение, удовлетворяющее начальным условиям:

у(х₀) = у₀, у(х₀) = у₀₁, ..., у^(n–1)(х₀) = у_0(n–1). (2)

Обозначим левую часть уравнения (1) через L_n[y(x)], тогда это уравнение можно записать в виде

L_n[y(x)] = f(x), (3)

а в случае однородного уравнения

L_n[y(x)] = 0. (4)

Это не просто сокращенная запись линейного дифференциального уравнения (1): L_n[y(x)] называется линейным дифференциальным оператором (ЛДО) и задает однозначное соответствие между множеством n раз дифференцируемых функций и множеством непрерывных функций в случае, если ЛДУ удовлетворяет теореме 1. Название «линейный» обусловлено тем, что L_n[y(x)] удовлетворяет двум свойствам:

1) L_n[y(x)+h(x)] = L_n[y(x)] + L_n[h(x)],

2) L_n[c y(x)] = c L_n[y(x)] (с const).

Свойства вытекают из соответствующих правил дифференцирования функций.

Из определения решения дифференциального уравнения и смысла линейного оператора имеем: если функция у =  (х)  решение неоднородного уравнения (3), то L_n[(x)]  f(x), а если  (х)  решение соответствующего однородного уравнения (4), то L_n[(x)]  0. Таким образом, результат действия ЛДО на функцию совпадает с правой частью соответствующего уравнения тогда и только тогда, когда эта функция является решением данного уравнения.

25. Линейные однородные уравнения n-го порядка .Структура общего решения.

Линейным дифференциальным уравнением n –го порядка называется уравнение вида

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x).

Коэффициенты уравнения a_n-1(x), a_n-2(x), ..., a₁(x), a₀(x) и правую часть f(x) полагаем непрерывными на отрезке [a;b] .

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = f(x) — неоднородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,

y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y = 0 — однородное линейное дифференциальное уравнение n–го порядка,

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n –го порядка:

L(y) ≡ y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x)y^{(n - 1)} + ... + a₁(x)y' + a₀(x)y.

L(y) = 0 и L(y) = f(x) — соответственно однородное и неоднородное уравнения в операторной записи.

При изучении линейных дифференциальных уравнений используются пространства C[a;b] — пространство непрерывных на отрезке [a;b] функций, и C_k [a;b] — пространство функций, непрерывных на [a;b] , вместе со своими производными до k –го порядка включительно.

26. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай действительных различных корней характеристического уравнения

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение вида

где p, q − постоянные коэффициенты. Для каждого такого дифференциального уравнения можно записать так называемое характеристическое уравнение:

Обшее решение однородного дифференциального уравнения зависит от корней характеристического уравнения, которое в данном случае будет являться квадратным уравнением. Возможны следующие случаи:

1. Дискриминант характеристического квадратного уравнения положителен: D > 0. Тогда корни характеристического уравнения k₁ и k₂ действительны и различны. В этом случае общее решение описывается функцией

где C₁ и C₂ − произвольные действительные числа.

2. Дискриминант характеристического квадратного уравнения равен нулю: D = 0. Тогда корни действительны и равны. В этом случае говорят, что существует один корень k₁ второго порядка. Общее решение однородного дифференциального уравнения имеет вид:

3. Дискриминант характеристического квадратного уравнения отрицателен: D < 0. Такое уравнение имеет комплексно-сопряженные корни k₁ = α + βi, k₁ = α − βi. Общее решение записывается в виде

Рассмотренные три случая удобно представить в виде таблицы:

27. Линейные однородные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Случай комплексных корней характеристического уравнения.

Начало – вопрос 26

Здесь каждой паре комплексно-сопряженных корней α ± iβ кратности k соответствует 2k частных решений

Тогда часть общего решения дифференциального уравнения, соответствующая данной паре комплексно-сопряженных корней, конструируется следующим образом:

28. Линейные однородные уравнения 2-го с постоянными коэффициентами. Случай действительных равных корней характеристического уравнения

Начало – вопрос 26

Пусть характеристическое уравнение L(λ) = 0 степени n имеет m корней λ₁, λ₂,..., λ_m, кратность которых, соответственно, равна k₁, k₂,..., k_m. Ясно, что выполняется условие

Тогда общее решение однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами имеет вид

Видно, что в формуле общего решения каждому корню λ_i кратности k_i соответствует ровно k_i членов, которые образуются умножением x в определенной степени на экспоненциальную функцию exp(λ_i x). Степень x изменяется в интервале от 0 до k_i − 1, где k_i − кратность корня λ_i.

29. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду) n-го порядка . Структура общего решения.

Линейным дифференциальным уравнением n -го порядка называется уравнение вида y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x), где y = y(x) — неизвестная функция, a₁(x), a₂(x), ..., a_n-1(x), a_n(x),  f(x) — известные функции, которые будем полагать непрерывными на промежутке (a, b).

Выражение в левой части уравнения называется линейным дифференциальным оператором n -го порядка: L(y) = y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y . Уравнения y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = 0 и y⁽ⁿ⁾ + a₁(x) y^(n-1) + ... + a_n-1 (x) y' + a_n(x) y = f(x),  f(x) № 0, называются соответственно однородным и неоднородным линейным дифференциальным уравнением n -го порядка.

Будем записывать однородное и неоднородное линейные дифференциальные уравнения в виде: L(y) = 0 и L(y) = f(x).

Принцип суперпозиции основан на следующих свойствах решений линейных уравнений: а) Если  y₁(x) и y₂(x) — два решения однородного линейного уравнения L(y)=0, то их линейная комбинация y(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x) при любых постоянных c₁, c₂   является решением однородного уравнения. б) Если y₁(x) и  y₂(x) — два решения неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x), то их разность y(x) = y₁(x) - y₂(x) является решением однородного уравнения L(y) = 0. в) Любое решение неоднородного линейного уравнения L(y) = f(x) есть сумма частного (фиксированного) решения неоднородного уравнения и некоторого решения однородного уравнения.

Принцип суперпозиции: Если y₁(x) и  y₂(x) — решения неоднородных линейных уравнений L(y) =  f₁(x) и L(y) =  f₂(x), то их сумма y(x) = y₁(x) + y₂(x) является решением уравнения L(y) =  f₁(x) +  f₂(x).  

30. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами. Метод неопределенных коэффициентов

Структура общего решения

Линейное неоднородное уравнение данного типа имеет вид:

где p, q − постоянные числа (которые могут быть как действительными, так и комплексными). Для каждого такого уравнения можно записать соответствующее однородное уравнение:

Теорема: Общее решение неоднородного уравнения является суммой общего решения y₀(x) соответствуюшего однородного уравнения и частного решения y₁(x) неоднородного уравнения:

Ниже мы рассмотрим два способа решения неоднородных дифференциальных уравнений.

Метод вариации постоянных

Если общее решение y₀ ассоциированного однородного уравнения известно, то общее решение неоднородного уравнения можно найти, используя метод вариации постоянных. Пусть общее решение однородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Вместо постоянных C₁ и C₂ будем рассматривать вспомогательные функции C₁(x) и C₂(x). Будем искать эти функции такими, чтобы решение

удовлетворяло неоднородному уравнению с правой частью f(x). Неизвестные функции C₁(x) и C₂(x) определяются из системы двух уравнений:

Метод неопределенных коэффициентов

Правая часть f(x) неоднородного дифференциального уравнения часто представляет собой многочлен, экспоненциальную или тригонометрическую функцию, или некоторую комбинацию указанных функций. В этом случае решение удобнее искать с помощью метода неопределенных коэффициентов. Подчеркнем, что данный метод работает лишь для ограниченного класса функций в правой части, таких как

2. где P_n(x) и Q_m(x) − многочлены степени n и m, соответственно.

В обоих случаях выбор частного решения должен соответствовать структуре правой части неоднородного дифференциального уравнения. В случае 1, если число α в экспоненциальной функции совпадает с корнем характеристического уравнения, то частное решение будет содержать дополнительный множитель x^s, где s − кратность корня α в характеристическом уравнении. В случае 2, если число α + βi совпадает с корнем характеристического уравнения, то выражение для частного решения будет содержать дополнительный множитель x. Неизвестные коэффициенты можно определить подстановкой найденного выражения для частного решения в исходное неоднородное дифференциальное уравнение.

31.Числовые ряды. Основные понятия и определения

32. Необходимый признак сходимости числового ряда.

 Теорема: Пусть числовой ряд

сходится, а S - его сумма. Тогда при неограниченном возрастании числа n членов ряда его общий член u_n стремится к нулю Доказательство. Из условия теоремы имеем

Так как

S_n - S_n-1 = u_n

то

  Следует отметить, что этот признак является лишь необходимым, но не достаточным признаком сходимости ряда, так как можно указать ряд, для которого выполняется равенство

,

а он, однако не является сходящимся.   Так гармонический ряд

,

для которого

,

расходится.   Но согласно доказанному необходимому признаку сходимости ряда, если

,

то ряд (1) расходится.   В самом деле, если бы он сходился, то

равнялся бы нулю.   Таким образом, доказанная нами теорема иногда позволяет, не вычисляя суммы S_n, сделать заключение о расходимости того или иного ряда. Например, ряд

,

расходится, так как

,

33. Признак Даламбера. Радикальный и интегральный признаки Коши.

При́знак д’Аламбе́ра (или Признак Даламбера) — признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.

Если для числового ряда

существует такое число , , что начиная с некоторого номера выполняется неравенство

то данный ряд абсолютно сходится; если же, начиная с некоторого номера

то ряд расходится.

Признак сходимости д’Аламбера в предельной форме

Если существует предел

то рассматриваемый ряд абсолютно сходится если , а если  — расходится.

Замечание. Если , то признак д′Аламбера не даёт ответа на вопрос о сходимости ряда.

1. , тогда существует , существует , для любого . Ряд из сходится (как геометрическая прогрессия). Значит, ряд из сходится (по признаку сравнения).

2. , тогда существует . для любого . Тогда не стремится к нулю и ряд расходится.

Интегральный признак Коши́-Макло́рена — признак сходимости убывающего положительного числового ряда. Признак Коши-Маклорена даёт возможность свести проверку сходимости ряда к проверке сходимости несобственного интеграла соответствующей функции на , последний часто может быть найден в явном виде.

Пусть для функции f(x) выполняется:

1. (функция принимает неотрицательные значения)

2. (функция монотонно убывает)

3. (соответствие функции ряду)

Тогда ряд и несобственный интеграл сходятся или расходятся одновременно.

Набросок доказательства

1. Построим на графике f(x) ступенчатые фигуры как показано на рисунке

2. Площадь большей фигуры равна

3. Площадь меньшей фигуры равна

4. Площадь криволинейной трапеции под графиком функции равна

5. Получаем

6. Далее доказывается с помощью критерия сходимости знакоположительных рядов.

34. Знакопеременные ряды. Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.

Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на –1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u₁-u₂+u₃-u₄+…+ +(-1)^n-1.u_n+…, где u_n – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

(Признак Лейбница)

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u₁>u₂>…>u_n>…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S_2n=(u₁-u₂)+(u₃-u₄)+…+(u_2n-1-u_2n).

По условию u₁>u₂>…>u_2n-1>u_2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S_2n возрастает с возрастанием n и S_2n>0 при любом n.

С другой стороны S_2n=u₁-[(u₂-u₃)+(u₄-u₅)+…+(u_2n-2-u_2n-1)+u_2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S_2n>0, поэтому S_2n<u₁ для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S_2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S_2n=S. При этом 0<S≤u₁.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S_2n+1=S_2n+u_2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S_2n+1= S_2n+ u_2n+1=S+0=S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому S_n=S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

35. Степенные ряды. Интервал и радиус сходимости степенного ряда

Степенной ряд с одной переменной — это формальное алгебраическое выражение вида:

в котором коэффициенты берутся из некоторого кольца .

Пространство степенных рядов с одной переменной и коэффициентами из обозначается . Пространство имеет структуру дифференциальной алгебры над кольцом (коммутативной, целостной, с единицей, если таково же кольцо ). Оно часто используется в математике ввиду того, что в нём легко представимы и разрешимы формальные дифференциально-алгебраические и даже функциональные соотношения (см. метод производящих функций). При его использовании эти соотношения превращаются в алгебраические уравнения на коэффициенты рядов. Если они разрешаются, говорят о получении формального решения исходной задачи в виде формального степенного ряда.

В определены операции сложения, умножения, формального дифференцирования и формальной суперпозиции. Пусть

Тогда:

(при этом необходимо, чтобы соблюдалось )

Для степенных рядов есть несколько теорем, описывающих условия и характер их сходимости.

• Первая теорема Абеля: Пусть ряд сходится в точке . Тогда этот ряд сходится абсолютно в круге и равномерно по на любом компактном подмножестве этого круга.

Обращая эту теорему, получаем, что если степенной ряд расходится при , он расходится при всех , таких что . Из первой теоремы Абеля также следует, что существует такой радиус круга (возможно, нулевой или бесконечный), что при ряд сходится абсолютно (и равномерно по на компактных подмножествах круга ), а при  — расходится. Это значение называется радиусом сходимости ряда, а круг  — кругом сходимости.

• Формула Коши-Адамара: Значение радиуса сходимости степенного ряда (если верхний предел существует и положителен, теорема Адамара о степенном ряде) может быть вычислено по формуле:

(По поводу определения верхнего предела см. статью «Частичный предел последовательности».)

Пусть и  — два степенных ряда с радиусами сходимости и . Тогда

Если у ряда свободный член нулевой, тогда

Вопрос о сходимости ряда в точках границы круга сходимости достаточно сложен и общего ответа здесь нет. Вот некоторые из теорем о сходимости ряда в граничных точках круга сходимости:

• Признак Д’Аламбера: Если при и выполнено неравенство

тогда степенной ряд сходится во всех точках окружности абсолютно и равномерно по .

• Признак Дирихле: Если все коэффициенты степенного ряда положительны и последовательность монотонно сходится к нулю, тогда этот ряд сходится во всех точках окружности , кроме, быть может, точки .

• Вторая теорема Абеля: Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он сходится равномерно по на отрезке, соединяющем точки и .

Сумма степенного ряда как функция комплексного параметра является предметом изучения теории аналитических функций.

36. Ряд Тейлора. Разложение функций б степенные ряды .

Оказывается, большинство практически встречающихся математических функций могут быть с любой точностью представлены в окрестностях некоторой точки в виде степенных рядов, содержащих степени переменной в порядке возрастания. Например, в окрестности точки х=1:

При использовании рядов, называемых рядами Тейлора, смешанные функции, содержащие, скажем, алгебраические, тригонометрические и экспоненциальные функции, могут быть выражены в виде чисто алгебраических функций. С помощью рядов зачастую можно быстро осуществить дифференцирование и интегрирование.

Ряд Тейлора в окрестности точки a имеет виды:

1) , где f(x) - функция, имеющая при х=а производные всех порядков. R_n - остаточный член в ряде Тейлора определяется выражением

2)

k-тый коэффициент (при х_k) ряда определяется формулой

3) Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (=Макларена) (разложение происходит вокруг точки а=0)

при a=0

члены ряда определяются по формуле

Условия применения рядов Тейлора.

1. Для того, чтобы функция f(x) могла быть разложена в ряд Тейлора на интервале (-R;R) необходимо и достаточно, чтобы остаточный член в формуле Тейлора (Маклорена (=Макларена)) для данной функции стремился к нулю при k→∞ на указанном интервале (-R;R).

2. Необходимо чтобы существовали производные для данной функции в точке, в окрестности которой мы собираемся строить ряд Тейлора.

Свойства рядов Тейлора.

1. Если f есть аналитическая функция, то ее ряд Тейлора в любой точке а области определения f сходится к f в некоторой окрестности а.

2. Существуют бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, но при этом отличается от функции в любой окрестности а. Например:

Ряды Тейлора применяются при аппроксимации ( приближение - научный метод, состоящий в замене одних объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми) функции многочленами. В частности, линеаризация ((от  linearis — линейный), один из методов приближённого представления замкнутых нелинейных систем, при котором исследование нелинейной системы заменяется анализом линейной системы, в некотором смысле эквивалентной исходной.) уравнений происходит путём разложения в ряд Тейлора и отсечения всех членов выше первого порядка.