7. Ряды в комплексной плоскости.

Пусть имеем ряд с комплексными членами

(7.1)

Ряд (7.1) сходится тогда и только тогда, когда сходится как ряд

(7.2)

так и ряд

(7.3)

Ряд (7.1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд, составленный из модулей членов ряда (7.1):

(7.4)

Ряды (7.2), (7.3), (7.4) являются рядами с действительными членами, и вопрос об их сходимости решается с помощью известных признаков сходимости рядов в действительной области.

Примеры

7.1. Исследовать сходимость ряда

Решение. Так как то рассмотрим два ряда с действительными членами: рядесть ряд расходящийся, а рядсходится. Следовательно, данный ряд расходится.

7.2. Исследовать сходимость ряда

Решение. Имеем т. е. вопрос о сходимости данного ряда сводится к вопросу о сходимости рядов с действительными членами:иКаждый из этих рядов сходится абсолютно. Следовательно, данный ряд сходится абсолютно.

Степенным рядом в комплексной плоскости называется ряд вида

(7.5)

где с₀, с₁, …, с_n,… -комплексные постоянные, а z –комплексная переменная.

ТЕОРЕМА АБЕЛЯ. Если степенной ряд (7.5) сходится при некотором значении z = z₀, то он сходится и притом абсолютно при всех значениях z, для которых Если ряд (7.5) расходится при z = z₁, то он расходится и при любом значении z, для которого

Область сходимости ряда (7.5) есть круг с центром в начале координат. Радиус сходимости степенного ряда определяется по формулам

(7.6)

или

(7.7)

если указанные пределы существуют.

Примеры.

7.3. Найти радиус степенного ряда

Решение. Имеем Чтобы найти радиус сходимости R, применим формулу (7.6):

так как

Итак, радиус сходимости данного степенного ряда R = e^-1.

7.4. Найти радиус сходимости степенного ряда

Решение. Чтобы определить радиус сходимости данного ряда, воспользуемся формулой (7.7). Находим модуль коэффициента c_n = (1 + i)ⁿ:

Таким образом,

Ряды Тейлора.

Функция f(z), однозначная и аналитическая в точке z = z₀, разлагается в окрестности этой точки в степенной ряд Тейлора

(7.8)

коэффициенты которого с_n вычисляются по формулам

(7.9)

где Г-окружность с центром в точке z = z₀, целиком лежащая в окрестности точки z₀, в которой функция f(z) аналитична. центр круга сходимости в точке z₀. Окружность, центр которой находится в этой точке, проходит через особую точку  функции f(z), ближайшую к точке z₀, т. е. радиус сходимости ряда (7.8) равен расстоянию от точки z₀ до ближайшей особой точки функции f(z).

Для функций ln (1 + z), (1 + z)^ имеют место следующие разложения в ряд Тейлора в окрестности точки z₀ = 0:

(7.10)

(7.11)

В частности, при  = – 1 имеем

(7.12)

Формула (7.10) дает разложение в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 главного значения логарифма. Чтобы получить ряд Тейлора для других значений многозначной функции Ln (1 + z), следует к ряду (10) прибавлять числа 2ni, n = 1, 2, …:

Примеры.

7.5. Разложить в ряд Тейлора в окрестности точки z = 0 функцию , используя разложение (7.12), и найти радиус сходимости ряда.

Решение. Разложим данную функцию на простейшие дроби:

Преобразуем правую часть этого разложения следующим образом:

Используя разложение (7.12) функции, получим

Ближайшей к точке z = 0 особой точкой данной функции является точка z = – 1.Поэтому радиус сходимости полученного ряда R = 1.

7.6. Разложить по степеням z – 3 функцию

Решение. Преобразуем данную функцию следующим образом:

Этот ряд сходится при условии т. е. радиус сходимости ряда R = 1.

7.7. Найти несколько первых членов разложения в ряд по степеням z функции f(z) = tg z и найти радиус сходимости ряда.

Решение. Пусть искомый ряд имеет вид

f (z) = c₀ + c₁ z + c₂ z² + c₃ z³ + …,

где

Для нахождения значений производных f⁽ⁿ⁾ (z) в точке z = 0 продифференцируем данную функцию несколько раз. Получим:

Полагая в получившихся выражениях z = 0, найдем

Подставляя найденные значения производных в ряд, получим

Ближайшей особой точкой к точке z = 0 является точка   . Следовательно, радиус сходимости полученного ряда R = .

Ряды Лорана.

Функция f (z), однозначная и аналитическая в кольце r <  z – z₀  < R (не исключаются случаи, когда r = 0 и R = ), разлагается в этом кольце в ряд Лорана:

(7.13)

где коэффициенты с_n находятся по формулам

(7.14)

Здесь Г – произвольная окружность с центром в точке z₀, лежащая внутри данного кольца.

В формуле (7.13) ряд называетсяглавной частью ряда Лорана, а ряд называетсяправильной частью ряда Лорана.

На практике при нахождении коэффициентов с_n стараются избегать применения формул (7.13),(7.14), т.к. они приводят к громоздким выкладкам. Обычно, если это возможно, используют готовые разложения в ряд Тейлора элементарных функций.

Примеры.

7.8. Разложить в ряд Лорана в кольце 0 <  z – 1  < 2 функцию

Решение. Нам нужно представить данную функцию в виде суммы степеней (положительных и отрицательных) разности (z – 1). Для этого разложим дробь на простейшие дроби:

(7.15)

Первые два слагаемые в правой части (7.15) имеют нужный вид, так как представляют собой степени разности (z – 1). Последние два слагаемых запишем в виде:

Применяя формулу (7.12), а затем формулу (7.11) при  = –2, получим:

Подставляя полученные разложения в (7.15), запишем разложение в ряд Лорана заданной функции:

или

7.9. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности точки z₀ = 0.

Решение. Для любого комплексного  имеем

Полагая =, получим

или

Это разложение справедливо для любой точки z  0.В данном случае «кольцо» представляет собой всю комплексную плоскость с одной выброшенной точкой z  0. Это «кольцо» можно определить с помощью следующего соотношения: 0   z – 0   . Здесь r = 0, R = + , z₀ = 0. Данная функция является аналитической в указанном «кольце».

7.10. Рассмотреть различные разложения в ряд Лорана функции приняв z₀ = 0.

Решение. Функция f(z) имеет две особые точки: z₁ = – 2 и z₂ = 1. Следовательно, имеем три «кольца» с центром в точке z₀ = 0, в каждом из которых данная функция является аналитической:

а) круг  z   1;

б) кольцо 1   z   2;

в) 2   z    – внешность круга  z   2.

Найдем ряды Лорана для функции f(z) в каждом из этих «колец». Представим функцию f(z) в виде суммы простейших дробей:

(1)

а) Для разложения в круге  z   1 преобразуем (1) следующим образом:

=(2)

Применив к (2) формулу (7.12), получим

Подставляя эти разложения в (2), получим

,

что и представляет собой ряд Лорана для данной функции.

б) Найдем разложение функции в кольце 1   z   2.

Ряд остается сходящимся в этом кольце, так как z   2.

Ряд расходится для 1 z .

Поэтому преобразуем f(z) следующим образом:

(3)

Применяя формулу (7.12), получим

(4)

Этот ряд сходится для т. е. при z   1.

Таким образом, искомое разложение имеет вид:

в) Найдем разложение для  z   2. Ряд для функции при z   2 расходится, а ряд для функции будет сходится, так как если z   2, то и подавно  z   1. Функцию f(z) представим в таком виде:

Используя формулу (7.12), получим искомое разложение

или

Этот пример показывает, что для одной и той же функции f(z) ряд Лорана, вообще говоря, имеет разный вид для разных колец.

7.11. Разложить в ряд Лорана функцию в окрестности ее особых точек.

Решение. Особые точки функции f(z): z₁ = 1, z₂ = 2.

Для разложения функции f(z) в окрестности точки z₁ = 1, т. е. в кольце 0   z – 1  1, представим эту функцию в виде суммы простейших дробей

Правую часть преобразуем следующим образом:

Применяя разложение (7.12), в котором z заменим на – (z – 1), получим

Разложение f(z) в окрестности точки z₂ = 2, т. е. в кольце 0   z – 2  1, выполним аналогично. Имеем