6. Однозначные ветви многозначной функции. Точки разветвления.

Пусть функция  = f(z), аналитическая в области D, отображает область D на область G и такова, что обратная функция z = () многозначна в области G. Если существуют однозначные, аналитические в области G функции z = ₁(), z = ₂(), … , для которых данная функция  = f(z) является обратной, то функции ₁(), ₂(), … называются однозначными ветвями функции (), определенной в области G.

Например, функция  = zⁿ каждой точке z₀ ставит в соответствие единственную точку ₀, но одной и той же точке ₀ (  0,   ) функция ставит в соответствие n различных точек плоскости z; при этом, если, то эти n значений z находятся по формулам:

, где,, (–    , k = 0, 1, … , n – 1).

Пусть односвязная область G содержит точку ₀, но не содержит точек  = 0,  = . Тогда различным фиксированным значениям k = 0, 1,…, n–1) при одном и том же выборе ₀ (например, ₀ = arg ₀) соответствуют различные ветви функции.

Точка, обладающая тем свойством, что обход вокруг нее в достаточно малой окрестности влечет за собой переход от одной ветви многозначной функции к другой, называется точкой разветвления этой функции. Точками разветвления функции являются точки = 0 и  = .

После n-кратного обхода вокруг точки  = 0 мы вернемся к первоначальной ветви функции. Точки разветвления, обладающие таким свойством, называютсяалгебраическими точками разветвления порядка (n-1). В каждой из этих точек функция имеет только одно значение:,, т.е. различные ветви функции в этих точках совпадают.

Для логарифмической функции  = Ln z точками разветвления являются числа z = 0 и z = , причем Ln 0 = , Ln  = . Любое конечное число обходов (в одном и том же направлении) вокруг точки z = 0 не приведет к первоначальной ветви функции Ln z. Такие точки ветвления называются логарифмическими. При интегрировании необходимо выделять ветвь многозначной функции. Это достигается заданием значения многозначной функции в некоторой точке контура интегрирования.

Если контур интегрирования L замкнут, то начальной точкой z₀ пути интегрирования считается та точка, в которой задано значение подынтегральной функции.

Примеры.

6.1. Вычислить интеграл, где L – верхняя дуга окружности |z|=1. Дляберется та ветвь, для которой.

Решение. Функция имеет два значения:

где .

Так как значения z берутся на единичной окружности, то = 1 и, следовательно,

Условию удовлетворяет второе значение:

В самом деле, пусть z = 1, тогда arg z = 0 и . Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим:

Полагая z = – 1, найдём

Согласно выбору ветви , окончательно получим

Рассмотрим и другой способ вычисления данного интеграла.

Полагаем z = e^i , где  = 1, а 0    . Из условия следует, что. Теперь

6.2. Вычислить интеграл по дуге окружности(ln z – главное значение, ln 1= 0).

Решение. Применяя формулу Ньютона-Лейбница, получим

Вычислим этот интеграл другим способом. Делаем замену переменной: ln z = , d =. Дуга окружностипереходит в отрезок мнимой оси, заключённый между точками (0; 0) и (0;. Интеграл примет вид:

Этот интеграл можно вычислить ещё и так: пусть z = e^i, где  = z = 1, тогда ln z = i, dz = ie^id, 0    2. Получаем

Интегральная формула Коши.

Если функция  = f(z) аналитическая в области D, ограниченной кусочно-гладким замкнутым контуром С, и на самом контуре, то справедлива интегральная формула Коши

, z₀  D , (6.1)

где контур С обходится так, что область D остаётся всё время слева.

Если функция  = f(z) аналитична в области D и на ее границе С, то для любого натурального n имеет место формула

где(6.2)

Этой формулой можно пользоваться при вычислении некоторых интегралов.

Примеры.

6.3. Вычислить интеграл .

Решение. Внутри окружности z = 2 знаменатель дроби обращается в нуль при z₀ = –1. Чтобы применить формулу Коши, запишем интеграл в виде: .

Здесь z₀ = –1, а функция аналитическая в круге. Поэтому

6.4. Пользуясь интегральной формулой Коши, вычислить интеграл, если: а). С:z – 2  = 1; б). С: z – 2 = 3; в). С: z – 2 = 5.

Решение.

а) В замкнутой области z – 2  1 подынтегральная функция аналитическая, поэтому , т. к..

б) В замкнутой области находится одна точка z₀ = 0, в которой знаменатель дроби обращается в нуль. Перепишем интеграл в виде .

Функция аналитическая в данной области, поэтому

в) В области, ограниченной окружностью, есть две точки z = 0 и z = 6, в которых знаменатель подынтегральной функции обращается в нуль. Непосредственно формулу Коши применять нельзя. Разложим дробьна простейшие:

Следовательно, Подставляя в интеграл, получим

6.5.Вычислить интеграл

Решение. Подынтегральная функция является аналитической в областивсюду, кроме точки z₀ = 1. Выделим под знаком интеграла функцию f(z), являющуюся аналитической в круге. Для этого запишем подынтегральную функцию в виде

и в качестве f(z) возьмем. Полагая в формуле (6.2)n = 1, получим

Находим производную

Отсюда Следовательно,