5. Интегрирование функций комплексного переменного.

Пусть однозначная функция  = f(z) определена и непрерывна в области D, а С – кусочно-гладкая замкнутая или незамкнутая кривая, лежащая в D. Пусть z = x + iy, f(z) = u + iv, где u = u(x, y), v = v(x, y) – действительные функции переменных x и y. Вычисление интеграла от функции f(z) комплексного переменного z сводится к вычислению обычных криволинейных интегралов

(5.1)

Интеграл зависит от пути интегрирования С. Если же f(z) аналитическая функция в односвязной области D, то интеграл не зависит от пути интегрирования. В этом случае, где L – любой замкнутый кусочно-гладкий контур в D.

Если кривая С задана параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t) и начальная и конечная точки дуги С соответствуют значениям t = t₀ и t = t₁, то

, где z(t) = x(t) + iy(t). (5.2)

Если функция f(z) аналитична в односвязной области D, содержащей точки z₀ и z₁, то имеет место формула Ньютона-Лейбница

, (5.3)

где (z) – какая-либо первообразная для функции f(z), т. е. z₁ = f(z) в области D.

Если функции f(z) и (z) – аналитические в односвязной области D, а z₀ и z₁ – произвольные точки этой области, то имеет место формула интегрирования по частям:

(5.4)

Замена переменных в интегралах от функций комплексного переменного производится аналогично замене переменной при интегрировании функций действительного переменного. Пусть аналитическая функция z =  отображает взаимно однозначно контур C₁ в -плоскости на контур С в z-плоскости. Тогда

(5.5)

Если путь интегрирования есть полупрямая, выходящая из точки z₀, или окружность с центром в точке z₀, то полезно делать замену переменных в виде z – z₀ = e^i. В первом случае  = const, а  – действительная переменная, а во втором случае  = const, а  – действительная переменная интегрирования.

Примеры.

5.1. Вычислить интеграл по линиям, соединяющим точки z₁ = 0 и z₂ = 1 + i:

а) по прямой; б) по параболе y = x²; в) по ломаной z₁z₂z₃, где z₃ = 1.

Решение. Запишем подынтегральную функцию в виде:

Здесь u = 1 – 2x, v = 1 – 2y. Применяя формулу (5.1), получим

а) Уравнение прямой, проходящей через точки z₁ = 0 и z₂ = 1 + i, будет y = x, 0  x  1, а значит dy = dx. Поэтому

б) Для параболы y = x² имеем dy = 2xdx, 0  x  1. Следовательно,

в) На отрезке z₁z₃: y = 0, dy = 0, 0 x  1. На отрезке z₂z₃: x = 1, dx = 0, 0 y  1. Используя свойство линейности криволинейных интегралов, получим

Этот пример показывает, что интеграл от непрерывной, но не аналитической функции зависит от формы пути интегрирования.

5.2. Вычислить интеграл, где С – дуга окружности |z| = 1, 0 arg z .

Решение. Положим z = e^i, тогда dz = ie^id и

5.3. Вычислить интеграл, где С – отрезок прямой y = x , соединяющий точки z₁ = 0, z₂ =  – i.

Решение. Параметрические уравнения линии С есть: x=t, y= –t или в комплексной форме z = t + it, где 0  t  . Применяя формулу (5.2) получим

5.4. Вычислить интеграл

Решение. Так как подынтегральная функция f(z) = 3z² + 2z аналитична всюду, то, применяя формулу Ньютона-Лейбница, найдём

5.5. Вычислить интеграл .

Решение. Функции f(z) и (z) = cos z аналитические всюду. Применяя формулу интегрирования по частям, получим