4. Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана.

Пусть функция  = f(z) определена в некоторой области D комплексного переменного z. Пусть точки z и z +  z принадлежат этой области. Обозначим  = f(z + z) –f(z), z = x+ iy. Функция  = f(z) называется дифференцируемой в точке z  D , если отношение z имеет конечный предел при z0 произвольным образом. Этот предел называется производной функции f(z) в точке z и обозначается (или, или). Так что по определению.

Если z = x + iy, f(z) = u(x, y) + i v(x, y), то в каждой точке дифференцируемости функции f(z) выполняются соотношения ,называемыми условиями Коши-Римана. Верно и обратное. Если в некоторой точке (x, y) функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы как функции действительных переменных x и y и удовлетворяют условиям , то функция f(z) = u + iv дифференцируема в точке z = x + iy как функция комплексного переменного z.

Функция  = f(z) называется аналитической в данной точке z  D, если она дифференцируема как в самой точке, так и в некоторой её окрестности. Функция f(z) называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Для любой аналитической функции f(z) имеем

.

Примеры.

4.1. Показать, что функция  = е^z является аналитической на всей комплексной плоскости.

Решение. e^z = e^x(cos y + i sin y), u(x, y) = e^xcos y, v(x, y) = e^xsin y. Функции u(x, y) и v(x, y) как функции действительных переменных x и y дифференцируемы в любой точке (x,y) и при этом удовлетворяют условиям Коши-Римана:

Следовательно, функция  = e^z всюду аналитическая и

4.2. Является ли функция  = z аналитической хотя бы в одной точке?

Решение. Имеем так что u(x,y) = x² + y², v(x, y) = 0. Условия Коши-Римана в этом случае имеют вид: , и выполняются только в одной точке (0, 0). Следовательно, функциядифференцируема только в точке z = 0 и нигде не аналитична.

Покажем, пользуясь определением, что функция дифференцируема в точке z = 0. Имеем f(0) = 0, поэтому

Таким образом, существует и равна 0.

4.3. Является ли функция аналитической?

Решение. u(x, y) = x, v(x, y) = – y – всюду дифференцируемые функции переменных x и y. Далее,. Так что, т. е. первое из условий Коши-Римана не выполняется ни в одной точке комплексной плоскости. Значит функциянигде не дифференцируемая, а, следовательно, и не аналитическая.

Пользуясь условиями Коши-Римана, аналитическую функцию f(z) можно восстановить, если известна её действительная часть u(x, y) или мнимая часть v(x, y).

Пример.

4.4. Найти аналитическую функцию  = f(z) по известной действительной части u(x, y) = 2 e^x cos y и при дополнительном условии f(0) = 2.

Решение. Имеем. По первому условию Коши-Римана должно быть, так что, где (x) пока неизвестна.

По второму условию Коши-Римана

откуда, а значит (x) = C, где C = const. Итак, v(x, y) = 2e^xcos y + C и, следовательно, f(z) = 2e^xcos y + 2e^xsin y + C = 2e^z + C. Из дополнительного условия найдём С: 2 = 2e⁰ + C. Отсюда, С = 0 и f(z) = 2e^z.

Аналитическую в окрестности точки z₀ функцию f(z) можно восстановить также по одной из следующих формул:

,

где – сопряжённое число для C₀ = f(z₀), а – сопряжённое число для z₀.

Пример.

4.4. Найти аналитическую функцию  = f(z) по известной мнимой части v(x,y) = 3x + 2xy при условии f(– i) = 2.

Решение. В нашем примере z₀ = – i, C₀ = 2, следовательно, , так что

Функция  (x, y) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа .

Если функция f(z) = u + iv аналитична в некоторой области, то её действительная часть u(x,y) и мнимая часть v(x, y) являются в этой области гармоническими функциями. Однако, если u₁(x, y) и v₁(x, y) любые две гармонические функции, то функция f₁(z) = u₁ + iv₁ не обязательно будет аналитической функцией: для аналитичности f₁(z) нужно, чтобы функции u₁ и v₁ удовлетворяли условиям Коши-Римана.

Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям Коши-Римана, называются сопряжённой парой гармонических функций (порядок функций в паре существенен).

Пример.

4.6. Найти все гармонические функции вида u = f(x² + y²), отличные от постоянной.

Решение. Так как искомые функции гармонические, то они должны удовлетворять уравнению Лапласа . Пусть t = x² + y², тогда u = f(t), где t = t(x, y). По правилу дифференцирования сложной функции находим:

.

Складывая последние два равенства, получим

.

Так как ,

то .

Имеем или– получили уравнение Эйлера.

общее решение этого уравнения, где С₁ и C₂ – const. Итак, искомые гармонические функции имеют вид u = f(x²+ y²) = C₁ln(x² + y²) + C₂.

Геометрический смысл модуля и аргумента производной.

Пусть функция f(z) аналитическая в точке z₀ и. Тогдаравенкоэффициенту растяжения в точке z₀ при отображении  = f(z) плоскости z на плоскость ; точнее, при > 1 имеет место растяжение, а при– сжатие.

Аргумент производной геометрически равен углу, на который нужно повернуть касательную в точке z₀ к любой гладкой кривой на плоскости z, проходящей через точку z₀, чтобы получить направление касательной в точке ₀ = f(z₀) к образу этой кривой на плоскости  при отображении  = f(z). При этом, если, то поворот происходит против часовой стрелки, а при < 0 – по часовой.

Пример.

4.7. Найти коэффициент растяжения и угол поворота при отображении  = z² в точке.

Решение. Имеем. Так чтоили в тригонометрической форме. Значит,, т. е. коэффициент растяжения r = 4, а угол поворота.

Если функция  = f(z), аналитическая в некоторой области D, взаимно однозначно отображает эту область на область, то кривая L, лежащая в области D, отобразится в некоторую кривуюв области, длина которой равна, а площадь областивыражается формулой. Таким образом,равен коэффициенту искажения площади при отображении = f(z).

Пример.

4.8. Точка z = x + iy описывает отрезок x = 1, –1  y  1. Чему равна длина линии, получающейся при отображении этого отрезка с помощью функции  = z² ?

Решение.

Первый способ. Имеем  = z² или x² – y² + i 2xy, т. е. u = x² – y², v = 2xy. На линии x = 1, –1  y  1 будем иметь u= 1 – y², v = 2y, причём –2  v  2. Так как, то. Длина дуги параболы

.

Второй способ.

.