3. Предел последовательности комплексных чисел. Предел и непрерывность функции комплексного переменного.

3.1. Пусть дана последовательность комплексных чисел

Комплексное число а называется пределом последовательности, если для любого положительного числа ε можно указать такой номер, начиная с которого все членыэтой последовательности удовлетворяют неравенству.

Последовательность, имеющая предел а, называетсясходящейся к числу а, что записывается в виде.

Каждой последовательности комплексных чисел соответствуют две последовательности действительных чисели, где

ТЕОРЕМА 1. Последовательность сходится к числутогда и только тогда, когда

Последовательность называетсяограниченной, если существует положительное число М такое, что для всех элементов этой последовательности выполняется неравенство

ТЕОРЕМА 2. Всякая сходящаяся последовательность ограничена.

Свойства сходящихся последовательностей.

Если, то

Пример.

3.1. Доказать, что последовательность имеет пределом число а = 1.

Доказательство. Пусть задано произвольное число ε > 0. Покажем, что существует такой номер N, что для всех n. Так как

,

то неравенство будет выполнено, еслит. е. при. Значит, в качествеможно взять число

где символ означает целую часть действительного числа x.

Достаточное условие сходимости последовательности комплексных чисел.

Пусть, где. Тогда, если, то.

Примеры.

3.2. Доказать, что

Доказательство. Обозначим. Тогда

Так как =,

то .

Значит, .

Пользуясь достаточным условием сходимости последовательности комплексных чисел, получим

3.3. Доказать, что последовательность расходится.

Доказательство. Так как

то последовательность имеет вид: π; 0; π; 0; … и предела не имеет.

Пусть имеем последовательность комплексных чиселЕсли для любого сколь угодно большого числа М > 0 существует натуральное число N такое, что все члены z_n последовательности с номерами n > N удовлетворяют неравенству |z_n | > M, то говорят, что последовательность сходится к бесконечно удалённой точке или к бесконечности:. Пополняя плоскость комплексного переменного так введенной бесконечно удалённой точкой z =, получаем расширенную плоскость комплексного переменного.

3.2. Окрестностью точки z₀ плоскости комплексной переменной z называется всякая область, содержащая эту точку. -окрестностью точки z_o называется множество всех точек z, лежащих внутри круга радиуса  с центром в точке z₀, т. е. множество всех точек z, удовлетворяющих неравенству

Пусть функция  = f (z) определена в некоторой окрестности  точки z₀, кроме, быть может, самой точки z₀. Число А называется пределом функции f ( z) в точке z₀, если для любого числа  > 0 можно указать такое число  > 0, что для всех точек z   , удовлетворяющих условию, выполняется неравенство. В этом случае пишутЗдесь предполагается, что z₀ и А конечные точки комплексной плоскости.

Определение предела функции f(z) в точке z₀ может быть дано и по-другому. Если для любой последовательности, сходящейся к точке z₀ , соответствующая ей последовательность значений функции сходится к комплексному числу А, точисло А называют пределом функции f (z) в точке z₀:. Здесь конечность z₀ и А не предполагается. Существование предела, где, равносильно существованию двух пределови, причём

.

Свойства пределов функций комплексного переменного.

Пусть существуют пределы, тогда

Функция f (z) , заданная в области D, называется непрерывной в точке z₀, если .

Для непрерывности функции комплексной переменной в точке z₀ = x + iy₀ необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая части, т.е. функции u(x,y) и v(x,y), были непрерывны в точке z₀ по совокупности переменных x, y. Функция f(z) комплексного переменного называется непрерывной в области D , если она непрерывна в каждой точке этой области. Сумма, разность, произведение двух функций комплексного переменного f(z) и g(z) , непрерывных в области D , также являются функциями непрерывными в этой области, а функция непрерывна в тех точках области D , где g(z)0.

Пример.

3.4. Дана линейная функция  = f (z) = az + b, где a и b – комплексные постоянные. Доказать, что в точке z₀ эта функция непрерывна, т.е. .

Доказательство. Возьмём произвольное число   0. Так как

,

то, выбрав в качестве  0 число, будем иметьпри |z – z₀| < . Это означает, что ₀ = az₀ + b есть предел функции f(z) = az + b в точке z₀.

Поскольку то тем самым доказано, что в любой точке z₀ линейная функция непрерывна.