2.2. Основные элементарные функции комплексного переменного.

1. Дробно-рациональная функция

;

в частности, рациональной функцией является многочлен

.

2. Показательная функция определяется как сумма абсолютно сходящегося во всей комплексной плоскости степенного ряда

Показательная функция обладает следующими свойствами:

1) при любых.

2) (k = 0,,,…), т. е. функцияявляется периодической с периодом T = 2i.

3. Тригонометрические функции sin z и cos z определяются степенными рядами

где n = 1,2, …,

абсолютно сходящимися при любом значении z. Функции sin z и cos z – периодические с действительным периодом Т = 2, имеют только действительные нули при z = k и z =соответственно, где

k=0,,…

Функции tg z , ctg z определяются равенствами

они имеют действительный период Т = .

Для тригонометрических функций остаются в силе все формулы тригонометрии. Для функций e, sin z, cos z имеют место формулы Эйлера:

откуда

4. Гиперболические функции.

Гиперболические функции sh z, ch z, th z, cth z определяются равенствами ,, Т = 2πi;,, Т = πi. Тригонометрические и гиперболические функции связаны между собой соотношениями:

sin z = – i sh iz, cos z = ch iz, tg z = – i th iz, ctg z = i cth iz.

sh z = – i sin iz, ch z = cos iz, th z = – i tg iz, cth z = i ctg iz.

Очевидно и то, что, т. к. z = x + iy.

5. Логарифмическая функция Ln z, где z0, определяется как функция, обратная показательной, причём

Ln z = ln+ i Arg z = ln+ i arg z + 2πki, ,

т.е., arg z – главное значение z. Эта функция является многозначной.Главным значением Ln z называется то значение, которое получается при k = 0; оно обозначается ln z: ln z = ln+ i arg z. Понятно, что Ln z = lnz + 2πki, k = 0,. Справедливы следующие соотношения:

,.

6. Общая показательная функция , где а – любое комплексное числоопределяется равенством, т.к.. Главное значение этой многозначной функции.

7. Общая степенная функция, где – любое комплексное число, определяется равенством. Это многозначная функция, и её главное значение равно.

8. Обратные тригонометрические функции Arcsin z, Arccos z, Arctg z, Arcctg z определяются как функции, обратные функциям sin z, cos z, tg z, ctg z соответственно. Все эти функции являются многозначными и выражаются через логарифмическую функцию.

,,

Главные значения этих функций получаются, если брать главные значения соответствующих логарифмических функций.

9. Обратные гиперболические функции определяются следующим образом: ,,

,.

Примеры.

2.4. Найти значение модуля функции в точке

.

Решение. Т. к.

z = ( x + iy), то ω = sin (x+ iy) = sin x cos iy + sin iy cos x =

= sin x ch y + i sh y cos x,

( sh y = – i sin iysin iy = –).

Модуль функции sin z равен

Полагая, найдём

Этот пример показывает, что тригонометрическая функция sin z в комплексной плоскости может принимать значения по модулю большие единицы.

2.5. Вычислить значение, записать его модуль, действительную и мнимую части.

Решение.

Так как то

Следовательно,

Найдём модуль функции:

В данном примере

2.6. Записать в алгебраической форме Arcsin

Решение. Полагая в формуле , получим.

2.7. Записать в алгебраической форме Arctg( 1+ i ).

Решение. Полагая в формуле, z = 1+i, получим

Далее, , следовательно,

Окончательно,

2.8. Решить уравнение sin z = 3.

Решение. Задача сводится к нахождению величины z = Arcsin 3. Воспользуемся формулой . При t = 3 будем иметь

.

Так как и, то

;,

, то

Следовательно,