1.3. Возведение комплексного числа в степень и извлечение корня из комплексного числа.

Тригонометрическая и показательная формы записи комплексного числа удобны при рассмотрении алгебраических операций возведения комплексного числа в целую положительную степень и извлечения корня из комплексного числа. Возведение комплексного числа

z = cos  + i sin 

в натуральную степень n производится по формуле

т. е.

Отсюда получается формула Муавра

Комплексное число называетсякорнем n–й степени из комплексного числа z, если . Из этого определения следует, чтои. Как было отмечено выше, аргумент комплексного числа определён не однозначно, а с точностью до слагаемого кратного 2. Поэтому корень n–й степени из комплексного числа z имеет n различных значений, которые находят по формуле

Точки на комплексной плоскости, соответствующие различным значениям, расположены в вершинах правильного n–угольника, вписанного в окружность радиусас центром в точке z = 0.

Корень n–й степени из действительного числа a также имеет n различных значений; среди этих значений действительных будет два, одно или ни одного в зависимости от чётности или нечётности n и знака числа a.

Примеры.

1.7. Найти все значения

Решение. Приводим комплексное число 1 – i к тригонометрическому виду:

, то.

Так как , то. Следовательно,

1 – i =

и

Полагая k = 0, 1, 2, 3, найдём:

при k = 0 z₁ =

при k = 1 z₂ =

при k = 2 z₃ =

при k = 3 z₄ =

1.8. Найти все значения.

Решение. Запишем действительное число 1 в тригонометрической форме. Так как

1 = 1 + 0i, то  1   0 и 1 = 1(cos 0 + i sin 0).

Следовательно,

При k = 0 имеем

при k = 1 имеем

при k = 2 имеем

при k = 3 имеем

2. Функции комплексного переменного.

2.1. Понятие функции комплексного переменного

Говорят, что в области D комплексной плоскости z определена функция комплексного переменного  = f(z), если каждой точке zD поставлено в соответствие одно (однозначная функция) или несколько (многозначная функция) значений .

Множество комплексных чисел , соответствующих всем zD, называется множеством значений функции f(z).

Поскольку каждое комплексное число z = x + iy характеризуется парой действительных чисел x и y, то задание комплексной функции  = u + iv комплексной переменой z = x + iy эквивалентно заданию двух действительных функций двух действительных переменных, что можно записать в виде

(z) = u(x,y) + i v(x,y).

Функции u(x,y) и v(x,y) определены в области D. Функция u(x,y) называется действительной, а функция v(x,y) – мнимой частью функции  = f(z).

Множество значений  функции f(z) на комплексной плоскости  может иметь самую разнообразную структуру. В частности, это может быть открытая область G или замкнутая область G. При этом геометрическая интерпретация понятия функции f(z) комплексной переменой заключается в том, что равенством  = f(z) устанавливается закон соответствия между точками области D комплексной плоскости z и точками области G комплексной плоскости . Очевидно, устанавливается и обратное соответствие: каждой точке G ставится в соответствие одна или несколько точек z области D. Это означает, что в области G задана (однозначная или многозначная) функция комплексной переменной : z = =(). Эта функция называется обратной функции f(z). Область G задания функции () является областью значений функции f(z). Если функция (), обратная однозначной функции f(z), заданной в области D, является однозначной функцией в области G, то между областями D и G установлено однозначное соответствие. Говорят, что  – образ точки z, а точка z – прообраз точки  при отображении  = f(z). Функция f(z) называется однолистной функцией в области D, если в различных точках z этой области она принимает различные значения. Из этого определения следует, что функция, обратная однолистной, является однозначной.

Примеры.

2.1. Найти действительную и мнимую части функции.

Решение.

Так как,, имеем

.

Следовательно,

2.2. Найти образ точки при отображении.

Решение.

.

2.3. В какую кривую отображается единичная окружность |z| = 1 с помощью функции

Решение.

Так как по условию |z| = 1, то || = |z|² = 1. Следовательно, образом окружности |z| = 1 в плоскости z является окружность || = 1 в плоскости, проходимая дважды. Это следует из того, что Arg, так что когда точка z описывает полную окружность |z| = 1, то её образ описывает окружность |дважды.