1.2. Действия над комплексными числами.

Пусть даны два комплексных числа z₁ = a₁ + ib₁, z₂ = a₂ + ib₂. Суммой комплексных чисел z₁ и z₂ называется комплексное число z = a + ib, где a = a₁ + a₂, b = b₁ + b₂. Легко видеть, что при таком определении сохраняются переместительный и сочетательный законы сложения, т.е. z₁ + z₂ = z₂ + z₁ и z₁ + (z₂ + z₃) = (z₁ + z₂) + z₃. Так же, как и в области действительных чисел, сумма любого комплексного числа z с нулём равна этому числу z, т. е. z + 0 = z.

Операция вычитания комплексных чисел определяется как операция, обратная сложению. Комплексное число z = a + ib называется разностью комплексных чисел z₁ = a₁ + ib₁ и z₂ = a₂ + ib₂, если a = a₁– a₂, b = b₁– b₂.

Отмеченное выше соответствие между множеством всех комплексных чисел и плоскими векторами позволяют отождествить операции сложения и вычитания комплексных чисел с соответствующими операциями над векторами. При этом легко устанавливаются неравенства треугольника:

Модуль разности двух комплексных чисел имеет геометрический смысл расстояния между соответствующими точками на комплексной плоскости.

Произведением комплексных чисел z₁ = a₁ + ib₁ и z₂ = a₂ + ib₂ называется комплексное число z = a + ib такое, что a = a₁a₂ – b₁b₂, b = a₁b₂ + a₂b₁. При таком определении произведения выполняются переместительный: z₁∙z₂= z₂∙z₁, сочетательный: z₁∙(z₂∙z₃) = (z₁∙z₂)∙z₃ и распределительный: (z₁ + z₂)∙z₃ = z₁∙z₂ + z₂∙z₃ законы. Заметим, что умножение на действительную единицу (1, 0) не меняет комплексного числа: z1 = z. Чисто мнимое число ib можно рассматривать как произведение мнимой единицы i и действительного числа b. В силу определения произведения комплексных чисел справедливо соотношение ii = i² = – 1. Оно позволяет придать прямой алгебраический смысл алгебраической форме записи комплексного числа z = a + ib и производить операции сложения и умножения комплексных чисел по обычным правилам алгебры многочленов.

Для выполнения операции умножения удобно пользоваться тригонометрической формой комплексных чисел. Пусть

Согласно правилам умножения получаем

Отсюда   ₁₂   ₁ ₂, т. е. модуль произведения равен произведению модулей, а аргумент – сумме аргументов сомножителей.

Операция деления комплексных чисел определяется как операция, обратная умножению. Комплексное число z = a + ib называется частным от деления комплексных чисел z₁ = a₁+ ib₁ и z₂= a₂+ ib₂ 0, если z₁= z₂z. Чтобы выполнить деление комплексных чисел z₁ и z₂ , умножим и разделим частное на комплексное число, сопряжённое числу z₂: