9. Вычеты функций.

Пусть точка z₀ – изолированная точка функции f(z). Вычетом функции f(z) в точке z₀ называется число, определяемое равенством

(9.1)

В качестве контура интегрирования  можно взять окружность с центром в точке z₀ достаточно малого радиуса такого, чтобы окружность не выходила за пределы области аналитичности функции f(z) и не содержала внутри других особых точек функции f(z).

Вычет в устранимой особой точке равен нулю. Если точка z₀ есть полюс n-го порядка функции f(z), то

(9.2)

В случае простого полюса (n = 1) (9.3)

Если функция f(z) в окрестности точки z₀ представима как частное двух аналитических функций, причёмz₀  0, z₀  0, а z₀  0, т. е. z₀ – простой полюс функции f(z), то

(9.4)

Если точка z₀ есть существенно особая точка функции f(z), то для нахождения необходимо найти коэффициент с_-1 в лорановском разложении функции f(z) в окрестности точки z₀; это и будет.

Примеры.

9.1. Найти вычеты функции в её особых точках.

Решение. Особыми точками данной функции являются точки z= 0 и. В точке z= 0 имеем

.

Следовательно, z = 0 – устранимая особая точка данной функции. Поэтому resf(0) = 0.

В точке имеем, т. е. точкаесть полюс (первого порядка) функции f(z). Согласно формулы (9.3) имеем

9.2. Найти вычеты функции в её особых точках.

Решение. Особые точки функции f(z) есть точки z = – 1, z = 2. Точка z = –1 является полюсом третьего порядка. Согласно формулы (9.2) имеем:

Точка z = 2 – полюс первого порядка, поэтому по формуле (9.3)

9.3. Найти вычет функции в точке z = 0.

Решение.

Точка z = 0 является нулём как числителя (z) = sin3z – 3sinz, так и знаменателя (z) = (sin z – z)sin z. Определим порядки нуля для этих функций, используя разложение в ряд Маклорена функции sin z:

где и₁(0) = – 4  0;

где и. Следовательно,

и т.к. ₁(0)  0, ₁(0)  0, то точка z = 0 является простым полюсом данной функции, поэтому её вычет находим по формуле (9.4):

;

9.4. Найти вычет функциив ее особой точке.

Решение. Особая точка функции f(z) есть точка z = 0. Она является существенно особой точкой функции f(z). Действительно, лорановское разложение функции в окрестности точки z = 0 имеет вид

т. е. содержит бесконечное число членов в главной части. Вычет функции в точке z = 0 равен нулю, так как коэффициент с_-1 в лорановском разложении f(z) равен нулю.

ТЕОРЕМА КОШИ О ВЫЧЕТАХ.

Если функция f(z) является аналитической на границе С области D и всюду внутри области, за исключением конечного числа особых точек z₁, z₂, …, z_n, то

Примеры.

9.5. Вычислить интеграл

Решение. В области функцияаналитична всюду, кроме точек z = 0 и z = – 1. По теореме Коши о вычетах запишем

Точка z = 0 есть устранимая особая точка, т. к.

следовательно, res f(0) = 0.

Точка z = – 1 – полюс первого порядка, тогда

.

Таким образом,

9.6. Вычислить интеграл

Решение. В области функция f(z) = tg z аналитична всюду, кроме точеки, являющихся простыми полюсами. Все другие особые точкиk=1,2… функции f(z) = tg z лежат вне области z  2 и поэтому не учитываются. Так как

и,

но ,

то

Поэтому

9.7. Вычислить интеграл

Решение. В области имеет две особые точки:z = i – полюс первого порядка и z = 0 – существенно особая точка.

По формуле (9.4) имеем

Для нахождения вычета в точке z = 0 необходимо иметь лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z = 0. Однако в данном случае искать ряд Лорана нет необходимости, так как данная функция f(z) четная и в ее лорановском разложении будут содержаться только четные степени z и. Поэтому с_-1 = 0 и, следовательно, res f(0) = 0. По теореме Коши о вычетах имеем

9.8. Вычислить интеграл

Решение. В круге подинтегральная функция имеет две особые точкиz=1 и z=0. Легко установить, что z=1 есть простой полюс, поэтому

.

Для установления характера особой точки z=0 напишем ряд Лорана для функции в окрестности этой точки. Имеем

Так как ряд Лорана содержит бесконечное множество членов с отрицательными степенями z, то точка z=0 является существенно особой. Вычет подынтегральной функции в этой точке равен

.

Следовательно, .

Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки.

Говорят, что функция f(z) аналитична в бесконечно удаленной точке, если функция аналитична в точке.

Например, функция аналитична в точке, поскольку функцияаналитична в точке.

Пусть функция f(z) аналитична в некоторой окрестности бесконечно удаленной точки (кроме самой точки).

Точка называетсяизолированной особой точкой функции f(z), если в некоторой окрестности этой точки нет других особых точек функции f(z).

Функция имеет в бесконечности неизолированную особенность: полюсыэтой функции накапливаются в бесконечности, если.

Говорят, что является устранимой особой точкой, полюсом или существенно особой точкой функцииf(z) в зависимости от того, конечен, бесконечен или вовсе не существует .

Критерии типа бесконечно удаленной особой точки, связанные с разложением Лорана, изменяются по сравнению с критериями для конечных особых точек.

ТЕОРЕМА 1. Если является устранимой особой точкой функцииf(z), то лорановское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит положительных степеней z; если – полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степенейz, в случае существенной особенности – бесконечное число положительных степеней z.

При этом лорановским разложением функции f(z) в окрестности бесконечно удаленной точки будем называть разложение f(z) в ряд Лорана, сходящееся всюду вне круга достаточно большого радиуса R с центром в точке z=0 (кроме, быть может, самой этой точки).

Пусть функция f(z) – аналитична в некоторой окрестности точки (кроме, быть может, самой этой точки).

Вычетом функции f(z) в бесконечности называют величину

(9.5)

где γ^– – достаточно большая окружность, проходимая по часовой стрелке (так что окрестность точкиостается слева, как и в случае конечной точкиz = a).

Из этого определения следует, что вычет функции в бесконечности равен коэффициенту при z ^–1 в лорановском разложении f(z) в окрестности точки, взятому с противоположным знаком:

(9.6)

Пример.

9.9. Для функции имеем. Это выражение можно рассматривать как ее лорановское разложение в окрестности бесконечно удаленной точки. Имеем, очевидно, чтотак что точкаявляется устранимой особой точкой, и мы полагаем, как обычно,. Здесьи, следовательно,.

Из этого примера следует, что вычет аналитической функции относительно бесконечно удаленной устранимой особой точки, в отличие от конечной устранимой особой точки, может оказаться отличным от нуля.

Известные разложения функций ez, sin z, cos z, sh z, ch z можно рассматривать также как лорановские разложения в окрестности точки. Так как все эти разложения содержат бесконечное множество положительных степеней z, то перечисленные функции имеют в точкесущественную особенность.

ТЕОРЕМА 2. Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма всех ее вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Так что если a₁, a₂, … , a_n – конечные особые точки функции f(z), то

или . (9.7)

Последнее соотношение бывает удобно использовать при вычислении некоторых интегралов.

Примеры.

9.10. Вычислить интеграл

Решение. Полюсами (конечными) подынтегральной функции являются корниz₁, z₂, z₃, z₄ уравнения, которые все лежат внутри окружности. Функцияв окрестности бесконечно удаленной точки имеет разложение

из которого видно, что. В силу равенства (9.7)

.

9.11. Вычислить интеграл .

Решение. Подынтегральная функция внутри окружностиимеет пять особых точек, являющихся кратными полюсами. Использование основной теоремы о вычетах приводит к большим вычислениям. Для вычисления данного интеграла удобнее использовать равенство (9.7), в силу которого будем иметь

. (9.7΄)

Так как функцию f(z) можно представить в виде

то отсюда видно, что правильная часть лорановского разложения этой функции в окрестности бесконечно удаленной точки начинается с члена. Следовательно,. Подставляя эту величину в равенство (9.7), получим.