8. Нули функции. Изолированные особые точки.

Нули функции

Пусть функция f(z) является аналитической в точке z_0. Точка z₀ называется нулём функции f(z) порядка (или кратности) n, если выполняются условия:

Если n = 1, то точка z₀ называется простым нулём.

Точка z₀ тогда и только тогда является нулём n-го порядка функции f(z), аналитической в точке z₀, когда в некоторой окрестности этой точки имеет место равенство, где функцияz аналитична в точке z₀ и z₀  0.

Примеры.

8.1. Найти нули функции f(z) = 1 + cos z и определить их порядок.

Решение. Приравнивая f(z) к нулю, получим cos z = –1 , откуда z_n = 1+n, n = 0, 1, 2,… – нули данной функции. Далее,

Следовательно, точки z_n = 1 + 2n, n = 0, 1, 2,… являются нулями второго порядка данной функции.

8.2. Найти порядок нуля z₀ = 0 для функции.

Решение. Используем разложение функции sin z в ряд Маклорена, получим:

Положим , тогда f(z) = z⁵z, где функция z аналитическая при z₀= 0 и 0 = 6  0. Следовательно, точка z₀ = 0 является для данной функции нулём пятого порядка.

Изолированные особые точки

Точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z), если существует окрестность этой точки, в которой f(z) аналитична всюду, кроме самой точки z = z₀.

Точка z₀ называется устранимой особой точкой функции f(z), если существует конечный предел функции f(z) в точке z₀.

Пример. 8.3

Решение. Особая точка функции f(z) есть z₀ = 0. Однако, Следовательно, точка z₀ = 0 есть устранимая особая точка.

Точка z₀ называется полюсом функции f(z), если. Для того, чтобы точка z₀ была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы эта точка была нулём для функции

Точку z₀ называют полюсом порядка n (n  1) функции f(z), если эта точка является нулём порядка n для функции . В случае n = 1 полюс называется простым. Для того чтобы точка z₀ являлась полюсом порядка n функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы функцию f(z) можно было представить в виде где функцияz аналитична в точке z₀ и z  0.

Точка z₀ называется существенно особой точкой функции f(z), если в точке z₀ функция f(z) не имеет предела ни конечного, ни бесконечного.

Примеры. Найти особые точки и исследовать их характер.

8.4.

Решение. Особая точка z₀ = 0. Положим z = e^i , тогда . Так как, то при z0 0 и неограниченно возрастает. Следовательно,, т. е. точка z₀ есть полюс этой функции. Для функции z = z³ точка z₀= 0 есть нуль третьего порядка, а значит, z₀= 0 является полюсом третьего порядка для функции f(z) = 1z³.

8.5. f(z) =

Решение. Функция f(z) имеет две особые точки z₁ = – 1 и z₂ =1. Исследуем точку z = – 1. Представим f(z) в виде:

Здесь аналитична в окрестности точки z = –1, причём. Следовательно, точка z = –1 является двукратным полюсом данной функции.

Аналогично записав функцию f(z) в виде, делаем вывод, что точка z = 1 есть простой полюс этой функции.

8.6. Определить характер особой точки z = 0 функции f(z) =.

Решение. Рассмотрим поведение этой функции на действительной и мнимой осях. На действительной оси z = x и f(x) =  при x 0.На мнимой оси z = iy и f(iy)при y 0. Следовательно, не существует ни конечный, ни бесконечный, т. е. точка z₀= 0 – существенно особая точка данной функции.

Имеют место следующие утверждения.

1. Для того чтобы точка z₀ была устранимой особой точкой функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы лорановское разложение этой функции в окрестности точки z₀ не содержало главной части.

2. Для того чтобы точка z0 была полюсом функции f(z), необходимо и достаточно, чтобы главная часть лорановского разложения f(z) в окрестности точки z0 содержала лишь конечное число членов:

3. Наибольший из показателей степеней у разностей z – z₀, содержащихся в знаменателях членов главной части ряда Лорана, совпадает с порядком полюса.

4. Точка z₀ тогда и только тогда является существенно особой точкой для функции f(z), когда главная часть ее лорановского разложения в окрестности точки z₀ содержит бесконечно много членов.