Конспект лекций по теории функций комплексного переменного

Мариуполь – 2004

Литвин Н.В.

Конспект лекций по теории функций комплексного переменного. Мариуполь: ПГТУ, 2004. – 56с.

В пособии в доступной форме изложены основные сведения из теории функций комплексного переменного; к каждой теме приведены примеры, иллюстрирующие способы решения поставленных задач.

Цель пособия – помочь студенту освоить теоретические основы и изучить методы решения задач, используемые в теории функций комплексного переменного.

Рекомендуется использовать это пособие студентам всех форм обучения.

1. Комплексные числа и действия над ними.

Комплексным числом z называется выражение z = а + ib, где a, b – любые действительные числа, i – мнимая единица. Первое число a пары (a, b) называется действительной частью комплексного числа z и обозначается символом a = Re z; второе число b называется мнимой частью комплексного числа z и обозначается символом b = Im z.

Два комплексных числа z₁ = a₁ + ib₁ и z₂ = a₂ + ib₂ равны тогда и только тогда, когда равны их действительные и мнимые части, т.е. z₁ = z₂ лишь при a₁ = a₂, b₁ = b₂.

Нулём называется комплексное число, у которого действительная часть а = 0 и мнимая часть b = 0, т. е. z = 0 + i0, и обычно пишут просто z = 0.

Включим действительные числа во множество комплексных чисел, рассматривая действительное число а как комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю, т. е. а = а + i0. Таким образом, множество комплексных чисел рассматривается как расширение множества действительных чисел. Комплексное число вида z = 0 + ib называется чисто мнимым и обозначается z = ib.

Комплексное число называетсякомплексно сопряжённым числу z = a + ib.

Запись вида z = a + ib называется алгебраической формой комплексного числа.

1.1. Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Поскольку комплексное число определяется как пара действительных чисел, то естественной геометрической интерпретацией является изображение комплексного числа z = a + ib точкой плоскости (x, y) с декартовыми координатами x = a, y = b. Такую плоскость в дальнейшем будем называть комплексной плоскостью, ось абсцисс – действительной, а ось ординат – мнимой осью комплексной плоскости. При этом устанавливается взаимно однозначное соответствие между множеством всех комплексных чисел и множеством точек комплексной плоскости, а также между множеством всех комплексных чисел и множеством всех свободных векторов, проекции x и y которых на оси абсцисс и ординат соответственно равны a и b. Таким образом, комплексное число z = a + ib изображается в плоскости (x, y) точкой M(a, b) либо вектором, начало которого находится в точке О(0,0) а конец в точке M(a, b). Для определения положения точки на плоскости можно пользоваться полярными координатами (, , где  – расстояние точки от начала координат, а  – угол, который составляет радиус–вектор данной точки с положительным направлением оси абсцисс. Положительным направлением изменения угла  считается направление против часовой стрелки. Длина вектора называетсямодулем комплексного числа и обозначается, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением оси ОХ, называется аргументом комплексного числа z и обозначается  = Arg z. Легко выразить модуль и аргумент комплексного числа через его действительную и мнимую части: (при выборе из последнего соотношения значения следует учитывать знаки a и b). Отметим, что аргумент комплексного числа определён не однозначно, а с точностью до слагаемого, кратного 2:

Arg z = arg z + 2k, k = 0, 1, 2,,

где arg z – есть главное значение аргумента, определяемое условиями –  arg z  , причём

Имеют место следующие соотношения

Аргумент комплексного числа z = 0 вообще не определён, а его модуль равен нулю. Два отличных от нуля комплексных числа равны между собой в том и только в том случае, если равны их модули, а значения аргументов или равны, или отличаются на число кратное 2. Комплексно сопряжённые числа имеют один и тот же модуль, а значения их аргументов при соответствующем выборе областей их изменения различаются знаком.

Свойства модуля комплексных чисел:

Воспользовавшись связью декартовых и полярных координат x =  cos , y =  sin , получим так называемую тригонометрическую форму записи комплексного числа:

z =  cos   i sin ,

где   z   Arg z.

Используя известную формулу Эйлера eⁱ^ = cos   i sin , получаем так называемую показательную форму записи комплексного числа: z = eⁱ^.

Примеры. Найти модуль и главное значение аргумента:

1.1. z = 4 + 3i.

|z| =; так как x = 4 > 0, то arg z = arctg 34.