Скачано с http://antigtu.ru
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия
Условие задачи
Написать разложение вектора 
по векторам
Решение
Искомое разложение вектора 
имеет вид:
Или в виде системы:
Получаем: |
|
с |
|
|
|
Ко второй строке приб вим первую: |
|
|
|
Скачано |
|
1-26
antigtu:
. |
ru |
К третьей строке прибавим первую: |
|
antigtu |
. |
ru |
|
|
|
|
|||
|
|
с |
|
|
|
Искомое разложение: |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 2-26 |
|
|
|||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
Коллинеарны ли векторы и , построенные по векторам и ? |
|
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
Векторы оллинеарны если существует такое число такое, что |
|
. Т.е. векторы |
|||
коллинеарны если их координаты пропорциональны. |
|
|
|
||
Находим: |
Скачано |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Получаем:
Находим косинус угла |
между векторами |
|
и |
|
antigtu: |
||
Значит векторы |
и |
- не коллинеарны. |
|
|
|
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 3-26 |
|||||||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
|
|
Найти косинус угла между векторами |
и |
|
. |
|
|||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем |
и |
: |
|
|
|
|
|
|
Скачано |
с |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Т.е. косинус угла: |
|
|
|
|
|
|
|
и следовательно угол
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 4-26
Условие задачи
Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
. |
ru |
Решение |
antigtu |
. |
ru |
Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
, численно равна модулю их векторного произведения:
Вычисляем |
, используя его свойства векторного произведения: |
|
Вычисляем площадь: |
с |
|
|
Скачано |
|
Т.е. площадь параллелограмма, построенного на векторах и равна .
Задача Кузнецов Аналитическая ге метрия 5-26
Условие задачи
Компланарны ли векторы 
, 
и 
?
Решение
Для того чтобы три вектора были компланарны (лежали в одной плоскости или параллельных
плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение |
было равно |
нулю. |
|
Так как |
|
, то векторы , и |
antigtu |
. |
ru |
||
|
не компланарны |
|
|
|
|||
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 6-26 |
|
|
|
||||
Условие задачи |
|
|
|
|
|
|
|
Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках |
|
и его высоту, опущенную из |
|||||
вершины |
на грань |
. |
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
с |
|
|
|
|
Из вершины |
проведем векторы: |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||
Скачано |
|
|
|
|
|
||
В соответствии с геометрическим смысл м смешанного произведения имеем: |
|
||||||
смешанное произведение:
Так как
Согласно геометрическому смыслу векторного произведения:
Вычислим векторное произведение:
Высота: 
Получаем: |
|
antigtu |
|
Тогда: |
с |
||
|
|||
|
|
||
Объем тетраэдра: |
|
|
|
Скачано |
|
|
Задача Кузнецов Аналити еская геометрия 7-26
Условие зада и
Найти расстояние от точки 
до плоскости, проходящей через три точки
. |
ru |
.
Решение
Находим уравнение плоскости, проходящей через три точки |
|
. |
: |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Расстояние от точки |
до пло ко тиantigtu |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Проведем преобразования: |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
с |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Находим: |
Скачано |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
Задача Кузнецов Ан литическ я геометрия 8-26 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
Условие зада и |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Написать ур внение плоскости, проходящей через точку |
перпендикулярно |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Найдем вектор |
: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
ru
:
вектору 
.
Так как вектор |
|
. |
ru |
перпендикулярен искомой плоскости, то его можно взять в качестве вектора |
|||
нормали. Поэтому уравнение плоскости будет иметь вид: |
|
|
|
|
antigtu |
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 9-26
Условие задачи
Найти угол между плоскостями:
Решение
Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами. Нормальные |
||
векторы заданных плоскостей: |
с |
|
|
||
Угол |
Скачано |
|
между плоскостями определяется ф рмулой: |
||
Задача Кузнецов Аналити еская геометрия 10-26 |
||
Условие з д чи |
|
|
Найти |
оординаты точ и , равноудаленной от точек и . |
|
Решение |
|
|
|
|
|
. |
ru |
Найдем расстояние |
и |
: |
|
antigtu |
|
|
|
Так как по условию задачи |
|
, то |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
Таким образом |
|
|
|
|
|
|
|
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 11-26 |
|
|
|||||
Условие задачи |
|
|
с |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пусть - коэффициент преобразования подобия с центром в начале координат. Верно ли, что точка |
|||||||
принадлежит образу плоскости ? |
|
|
|
|
|||
Решение |
Скачано |
|
|
|
|
||
При преобразовании подобия с це тром в ачале координат плоскость |
|
|
|||||
|
|
|
и коэффициентом переходит в плоскость |
|
|||
|
|
|
|
. Находим образ плоскости : |
|
|
|
Подставим координ ты точки |
в уравнение : |
|
|
|
|||
Так как |
, то точка |
не принадлежит образу плоскости . |
|
|
|||
Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям, то ее направляющий вектор 
ортогонален нормальным векторам обеих плоскостей. Нормальные вектора плоскостей:
Задача Кузнецов Аналитическая геометрия 12-26 |
|
ru |
||
Условие задачи |
|
|
. |
|
Написать канонические уравнения прямой. |
|
|||
|
|
|
||
Решение |
|
|
|
|
Канонические уравнения прямой: |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
где |
- координаты какой-либо точки прямой, а |
|
- ее направляющий |
|
вектор. |
|
antigtu |
|
|
|
|
|
|
|
Найдем направляющий вектор : |
с |
|
Скачано |
. Пусть |
, тогда |
Найдем какую-либо то ку прямой |