Дюрация как средний срок платежей.

Итак, мы определили дюрацию как чувствительность относительного изменения текущей стоимости к относительному изменению наращивания (1+r).

Обозначим:

, которая имеет смысл псевдовероятности, поскольку:

, (т.к. )

Сопоставим потоку платежей {C_T, } искусственную случайную величину Q, равную дате платежа: ее возможные значения соответствуют последовательным моментам датированных выплат. Таким образом, Q принимает целочисленные значения от 1 до Т.

Вероятность каждого из этих значений определим той долей , которую вносит отдельный платеж С_t в текущую стоимость Р всего потока платежей.

Представим обобщенную характеристику потока платежей {C_t}, соответствующую псевдослучайной величине Q, следующим рядом распределения:

Величина Q	1	2	…	t	…	T
Вероятность			…		…

Найдем мат. ожидание и дисперсию этой случайной величины.

Таким образом, дюрацию можно интерпретировать как среднюю длительность платежей в потоке.

Дисперсия случайной величины определяем выражением:

Пример 2:

Рассмотрим два потока платежей A и B с перераспределением денежных поступлений на начало и конец отчетного периода.

А = (1600, 400, 100); В = (100, 400, 1600)

Пусть (для простоты) r = 0. Найти дюрации денежных потоков.

Решение:

Получаем текущие стоимости:

Для каждого потока имеем следующие ряды распределения:

Величина Q(A)	1	2	3
Вероятность (A)
Величина Q(B)	1	2	3
Вероятность (B)

Отсюда найдем дюрацию (или среднюю срочность платежей) по каждому из потоков.

года

года

Отсюда следует, что для потоков с одинаковыми текущими стоимостями и выплатами, преобладание более ранних больших платежей уменьшает дюрацию, в то время как большие последующие выплаты ведут к ее росту.

Определим дисперсии для потоков А и В.

год²

год²

Дисперсия для потока В:

Как видим, дисперсии потоков А и В равны.

Отметим, что дюрация бескупонной облигации равна сроку ее погашения.

Выпуклость

Пусть имеется функция . Разложим ее в ряд Тейлора в окрестности точки x₀:

(13)

p(текущая стоимость) является функцией; r – банковская ставка – аргументом. Приращение текущей стоимости согласно (13) имеет вид:

(14)

Разделим обе части (14) на p. Получаем:

(15)

Согласно выражениям (7),(8),(9) первое слагаемое правой части выражения (15) можно представить в виде:

(16),

где - модифицированная дюрация.

Сочетание называется выпуклостью и обозначается:

Convex = (17)

Определим вторую производную текущей стоимости от банковской ставки. Для этого продифференцируем выражение (7) по r. Получаем:

(18)

Подставив (18) в (17) получаем формулу выпуклости:

(19)

В результате получаем:

(20)

Размерность convex (год²)

Проиллюстрируем выражение (14) рисунком: зависимость текущей стоимости облигации от процентной ставки r имеет вид кривой:

A

r

Приращение текущей стоимости состоит из двух отрезков АВ, которые определяются выражением и ВС, который определяется выражением , и учитывает выпуклость.

Отметим, что при значительных изменениях процентной ставки нужно пользоваться более точной формулой (20).

Пример 2:

Пусть процентная ставка в условиях примера 1 увеличилась на 5% (вместо 2%). В этом случае относительное изменение текущей стоимости будем определять не выражением (11), а формулой (20). Согласно формуле (19) выпуклость будет:

Модифицированная дюрация:

Подставив эти значения в выражение (20), получаем:

Изменение текущей стоимости:

Новая курсовая стоимость облигации: