Дюрация.

При расчете доходности к погашению неявно предполагалось, что все денежные поступления в каждый период вновь кладутся (реинвестируются) в банк под проценты на оставшееся до погашения время. Но через время процентная ставка может измениться.

Таким образом, возникает как риск реинвестирования, так и риск при продаже ценной бумаги до срока погашения. Поэтому возникла потребность просчитывать риск изменения процентных ставок, приводящий как к обесценению активов, так и к возможности непокрытия имеющихся долгов. В результате возникают задачи контролирования процентного риска для получения безрисковой доходности на вложенный капитал, а также задачи, целью которых является гарантия погашения обязательств.

Одним из способов решения подобных задач является формирование такого пакета облигаций, который, обладая требуемыми свойствами, сохраняет их независимо от изменения доходности на рынке.

Допустим принадлежащий инвестору пакет облигаций производит финансовый поток {C_T, }, с текущей стоимостью Р и обязательной календарной выплатой Р_К.

Напомним:

(8.1)

Приведенная величина этого потока Р зависит от процентных ставок r_t, поэтому их вероятностные изменения могут неблагоприятно сказаться на ее величине и могут также привести к возможности неуплаты долга.

Для простоты будем предполагать, что все доходности одинаковы во времени.

(8.2)

И если в ставке происходят какие-то изменения, то они происходят в самом начале.

Одной из причин изменения процентной ставки является изменение денежного рынка. Так уменьшение денежной массы приводит к неудовлетворенному спросу на деньги. Вследствие этого банки повысят ставку до r > r₀. При избытке денег банки снижают процентную ставку, и r станет меньше r_0.

Дюрация как мера чувствительности.

Имеется функция y=f(x).

Коэффициент чувствительности (эластичности) показывает, на сколько процентов изменится функция y при изменении относительной величины аргумента x на 1 процент.

Коэффициент эластичности определяется выражением:

(3)

Откуда получаем:

(4)

Текущая стоимость денежного потока имеет вид:

(5)

В итоге, коэффициент чувствительности текущей стоимости Р на изменение процентной ставки r будет равен:

(6)

Находим производную Р по r:

(7)

Подставив (7) в (6) получаем коэффициент эластичности:

(8)

Из выражения (3) получаем:

(9)

Обозначим:

(10)

Это выражение называется дюрацией. Размерность дюрации — год.

Подставив (10) в выражение (9) получаем:

(11)

Таким образом, дюрация есть коэффициент чувствительности между относительным изменением наращивания и относительным изменением текущей стоимости.

Пример 1:

Имеется облигация номиналом 1000 д.е., купон 5%. Срок погашения 3 года; безрисковая (банковская) ставка 10%. Определить, на сколько уменьшится текущая стоимость облигации при увеличении банковской ставки до 12%.

Решение:

Данная облигация образует денежный поток. Изобразим его на рисунке.

С₃=1050

Текущая стоимость данного потока будет:

д.е.

Дюрация данного денежного потока будет:

года

Определим, на сколько изменится относительная текущая стоимость облигации.

Согласно выражению (11) (для имеем:

В результате текущая стоимость уменьшилась на 4,8%.

Новое значение текущей стоимости облигации стало:

д.е.

Текущая стоимость при увеличении банковской ставки на 2% уменьшилась на 45,4 д.е.