
- •1. Введение в надежность
- •2. Надежность технических элементов
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Функциональные показатели надежности элемента
- •Функция ненадежности элемента
- •2.3. Числовые показатели надежности
- •2.4. Основные законы распределения наработки до отказа
- •Распределение Вейбулла
- •Экспоненциальное распределение
- •Распределение Релея
- •Нормальное распределение
- •Усеченное нормальное распределение
- •Суперпозиции экспоненциальных распределений
- •2.5. Ремонтопригодность технических элементов
- •Функциональные показатели ремонтопригодности
- •Числовые показатели ремонтопригодности
- •Экспоненциальное распределение вероятности восстановления
- •Комплексные показатели ремонтопригодности
- •2.6. Определение показателей надежности элементов по результатам испытаний
- •Определительные испытания
- •Контрольные испытания
- •Лабораторные испытания элементов
- •3. Надежность технических систем
- •3.1. Надежность простых технических систем
- •3.2. Расчет надежности локальных технических систем
- •3.3. Надежностный синтез технических систем
- •4. Надежность программного обеспечения
- •4.1. Общие сведения о программном обеспечении
- •Жизненный цикл программного обеспечения
- •4.2. Показатели надежности программы и программного обеспечения
- •Понятие ошибки программы
- •Модель ошибки сертифицированного по
- •Модели поведения ошибок функционирующего по
- •Функциональные и числовые характеристики надежности по
- •4.3. Повышение надежности программного обеспечения
- •Повышение надежности по путем резервирования
- •Программное резервирование по предусматривает наличие двух (или более) алгоритмов , решения одной и той же задачи с одинаковыми исходными данными и двух по1 и по2 (рис. 4.13).
- •5. Литература
2.2. Функциональные показатели надежности элемента
Пусть
в гипотетическом эксперименте над N
одинаковыми элементами (восстанавливаемыми
или невосстанавливаемыми) к моменту
времени t,
,
получены:
N(t) – число исправных элементов,
N-N(t) – число отказавших элементов,
- число отказов на малых
отрезках времени
,
расположенных на
, где tm – длительность
эксперимента, завершающегося при отказе
всех N элементов.
Используем эту информацию для формирования ряда функциональных показателей (характеристик) надежности элементов.
Функция ненадежности элемента
Введем
отношение
,
представляющее долю или частоту
отказавших к моменту t
элементов от общего их числа N.
Эта доля равна 0 при t=0
(ибо в работу включают только исправные
элементы) и равна 1 при t=tm,
т.е. к моменту окончания эксперимента
или отказу всех N испытуемых
элементов. Так как эта доля зависит от
времени t, то обозначим
ее через
и назовем статистической функцией распределения отказов.
Устремим
число испытуемых элементов к бесконечности:
.
Тогда при
статистическое распределение отказов
сходится равномерно по вероятности к
закону распределения вероятностей
отказов элемента
=Вертого,
что Т<t.
Интегральный закон распределения вероятностей отказов элемента до некоторого момента времени t: Q(t)=ВерТ<t называют функцией ненадежности элемента или функцией риска эксплуатации элемента (рис. 2.19).
При t=0 имеем: Т<0 – невозможное случайное событие (ибо в работу включаются только исправные элементы) и поэтому Q(0)=0.
При
имеем: Т<
- достоверное событие, заключающееся в
отказе всех материальных элементов за
бесконечно большое время эксплуатации
("нет ничего вечного в этом мире"!),
следовательно: Q(+)=1
.
Функция
ненадежности в общем случае неубывающая
непрерывная функция времени t,
(
рис. 2.19)
Рис. 2.19 – Функция ненадежности элемента
Статистическая
функция ненадежности
является кусочно-постоянной
неубывающей функцией времени, показанной
пунктиром на рис. 2.19. Отметим еще раз,
что Q(t)
– неслучайная, а
- случайная функция. В реальных условиях
функция Q(t)
нам не известна и мы
всегда работаем с ее оценкой
.
Функция ненадежности Q(t) наиболее полно описывает поведение случайной величины Т. Она позволяет, в частности, определять все другие (рассматриваются ниже) функциональные и числовые показатели надежности, а также дает ответ на практически важные вопросы:
какие элементы с разными функциями риска менее надежны;
сколько
элементов N0
из N
работающих откажут к
данному моменту времени t0
(
);
сколько
элементов
откажет на отрезке времени
(для этого
).
Функция надежности элемента
Вернемся
снова к экспериментальным данным N,
N(t),
N-N(t),
tm и введем
долю или частоту не отказавших к моменту
времени t элементов
.
Эта доля
равна 1 при
t=0
(в работу включили только исправные
элементы!) и нулю при t=+
(все материальное
разрушается). Зависимость
,
назовем статистической
функцией надежности,
она, как уже показано, изменяется от 1
до 0.
При N
функция
сходится по вероятности к
интегральному закону распределения
вероятностей безотказной работы или
функции надежности P(t)
=Вертого,
что Т>t=ВерТ>t.
Функция
надежности
=ВерТ>t
равна 1 при t=0
и 0 при t=.
(рис 2.20). Эта функция невозрастающая и
непрерывная. Статистическая зависимость
является кусочно-постоянной функцией
(показана пунктиром на рис. 2.20):
Рис. 2.20 – Функция надежности элемента
Согласно
определению каждый элемент может
находиться в одном из двух состояний:
работоспособности и отказа. Эти случайные
независимые несовместные события
образуют полную группу событий и тогда
.
Рис. 2.20 а – К понятию полной группы случайных событий
Плотность вероятности отказа f(t)
При решении
многих задач надежности оказывается
удобным применять не интегральные
распределения P(t),
Q(t),
а дифференциальный закон распределения
вероятности отказа
Эту зависимость часто называют плотностью вероятностей отказа. Функция f(t) определена на отрезке времени [0, +] и всегда положительна. Кроме того, по определению
По сравнению с P(t) и Q(t), функция плотности не содержит новой информации. Если известна f(t), то нетрудно найти
,
Функция плотности f(t) показана на рис. 2.21 штрихпунктирной линией.
Рис. 2.21 –
Функции плотности вероятности отказа
и интенсивности отказа
(лямбда-характеристика)
Статистическая
плотность распределения
находится по экспериментальным данным
,
где t
– середина малого интервала времени
,
на котором имело место
отказов элементов. При N
и
функция распределения
сходится в вероятности к f(t).
Отметим, что f(t)
имеет физическую размерность
.
Интенсивность отказов
Для описания поведения случайной величины Т часто используют функцию интенсивности отказов
представляющую условную плотность вероятности отказа элемента в момент t при условии, что до этого времени элемент не отказал. (рис. 2.21).
Функцию интенсивности отказов обычно называют лямбда-характеристикой.
Статистическая
лямбда-характеристика
определяется по результатам испытания
N одинаковых элементов
на надежность:
При N
и
статистическая функция
.
Из формул
для вычисления оценок
и
следует, что
для всех t,
;
при t=0 функции
,
ибо N(0)=N.
Рассмотренная
особенность верна и для неслучайных
функций (t)
и f(t)
(см. рис. 2.21):
,
,
.
Кроме того,
всегда положительная
функция, имеющая особенности в виде
разрывов второго рода: при N(t)0
функция
.
Функция
интенсивности (t)
имеет физическую размерность
.
Если время t измеряется
числом включений дискретного элемента
(реле) или числом циклов элемента с
периодическим режимом функционирования,
то и (t)
имеет соответствующую размерность:
,
.
Знание функции интенсивности позволяет находить любые другие характеристики надежности. Определим по (t) функцию надежности P(t):
Возьмем интегралы от левой и правой частей последнего равенства
В правой
части под знаком интеграла находится
так называемая логарифмическая
производная, поэтому
.
Выражение
после потенцирования принимает вид:
Далее находим
и
.
Взаимосвязи между показателями надежности приведены в табл. 1.
Известная функция |
Другие функциональные показатели надежности |
||
|
P(t)=1-Q(t) |
f(t)= |
λ(t)= |
|
Q(t)=1-P(t) |
f(t)=
- |
λ(t)= |
|
Q(t)= |
P(t)= |
λ(t)= |
|
Q(t)= |
P(t)=
|
|