3.2. Расчет надежности локальных технических систем

Техническая система называется локальной, если она состоит из небольшого числа m элементов, m4-5. Такие системы достаточно часто встречаются на практике, поэтому приведем ряд примеров расчета локальных систем, элементы которых подчиняются экспоненциальному распределению.

Расчет надежности системы с двумя нагруженными элементами

В этой системе всего два элемента (рис. 3.24) с интенсивностями отказов ₁ и ₂.

Рис. 3.24 – К расчету надежности резервированной системы с двумя элементами

Определим Р_с(t)=1-(1-P₁(t))( 1-P₂(t))= P₁(t)+ P₂(t) - P₁(t)P₂(t)

Структурная надежностная схема системы с двумя нагруженными элементами будет часто встречаться при расчете более сложных систем, поэтому выделим (и запомним) полученную "рабочую" формулу

Р_с= P₁+ P₂ - P₁P₂

Так как P_i(t)=exp{-_it}, i=1, 2, то

Р_с(t)= .

Для равнонадежных элементов с ₁=₂=

Р_с(t) = 2P(t) – P²(t)= 2е^-t - е^-2t

Хотя оба элемента системы подчиняются экспоненциальному распределению, но система в целом не подчинена экспоненциальному закону. Поэтому определим t_H^c по известному правилу

Сравним выражения А и Б и запомним: .

Знание этого соотношения позволяет опускать тривиальные выкладки типа С, Д и сразу переходить от А к Б. Например, для равнонадежных элементов с интенсивностью отказа  получаем

т.е. введение одного резервного элемента с =t_H увеличило среднюю наработку системы в 1,5 раза (см. табл. 4)

Приведем другие характеристики надежности системы с m=2.

Для равнонадежных элементов имеем

f_c(t)=2e^-t - 2e^-2t

Для системы из равнонадежных элементов можно вычислить гамма-ресурс t_. Для этого достаточно задать  и Р_ и решить трансцендентное уравнение 2e^-t - 2e^-2t = относительно переменной t.

Расчет надежности системы с тремя нагруженными элементами

В системе имеется три элемента с интенсивностями ₁, ₂, ₃ (рис. 3.25)

Рис. 3.25 - К расчету надежности резервированной системы из трех элементов

Определение Р_с(t) и t_Н^с проведем в два этапа.

На первом этапе "забудем" про элемент с ₃ и получим структурную надежностную схему из двух элементов (рис. 3.26). Но для этой схемы мы помним формулу Р_с=Р₁+Р₂-Р₁Р₂. Переобозначим Р_с = Р_с^I = Р₁ + Р₂-Р₁Р₂.

Рис. 3.26 – Структурная надежностная схема для первого этапа расчета надежности системы из трех элементов

На втором этапе примем найденное Р_с^I за функцию надежности условного элемента нарисуем новую надежностную схему (рис. 3.27), в которую вставим "забытый" элемент с ₃ или Р₃. Но и для этой схемы мы помним формулу для расчета Р_с:

Р_с(t)= Р_с^I +P_з- Р_с^I P_з = P ₁+P₂-P₁P₂+P₃-P₁P₃- P₂P₃+ P₁P₂P₃

Или, после подстановки P_i=e^-it, i=1, 2, 3.

Рис. 3.27 - Структурная надежностная схема для второго этапа расчета надежности системы из трех элементов

Средняя наработка на отказ системы

Для системы из трех равнонадежных элементов имеем

Р_с(t)=3е^-t - 3е^-2t + е^-3t

f_с(t)=3е^-t - 6е^-2t + 3е^-3t

При определении Р_с(t) можно использовать и основную формулу для расчета вероятности

Р_с(t)=1-(1-P₁(t))(1-P₂(t)(1-P₃(t))= P₁+P₂-P₁P₂+P₃-P₁P₃- P₂P₃+ P₁P₂P₃

Расчет надежности системы с групповым нагруженным резервом

Нагруженная система имеет два основных элемента с интенсивностями отказов ₁ и ₂ и два резервных элемента с интенсивностями ₃ и ₄ (рис. 3.28).

Рис. 3.28 – Структурная надежностная схема системы с групповым резервом

Введем P_i(t)=e^-it, i=1, 2, 3, 4.

Для определения Р_с(t) объединим пару последовательно включенных элементов с ₁, ₂ в новый элемент I с Р_I(t)= Р₁(t)Р₂(t) (рис. 3.29).

Рис. 3.29 – Преобразованная структурная схема системы с групповым резервом

Аналогично определим элемент II с Р_II(t)= Р₃(t)Р₄(t).

Имеем новую схему (рис. 3.29), для которой мы помним формулу Р_с(t)=P_I(t)+P_II(t)-P_I(t)P_II(t) или Р_с(t)=P₁P₂+P₃P₄ - P₁P₂P₃P₄= =

Средняя наработка на отказ системы с групповым резервом

Все формулы заметно упрощаются, если ₁=₂=₃₌₄=:

Р_с(t)=2е^-2t - е^-4t

f_с(t)=4е^-2t - 4е^-4t

Расчет надежности системы с индивидуальным резервом

В состав системы входят два основных элемента с интенсивностями ₁, ₂ и два резервных с ₃, ₄, причем каждый резервный отдельно дублирует основной элемент (рис. 3.30)

Рис. 3.30 – Структурная надежностная схема системы с индивидуальным резервом

Эту схему можно изобразить проще, если объединить “внутренние” линии в одну линию СД.

Введем P_i=e^-_i^t, i=1, 2, 3, 4 и для удобства изложения назовем линию СД – “перемычкой” (рис. 3.31).

Рис. 3.31 – Структурная надежностная схема системы с индивидуальным резервом и “перемычкой” СД

Система на рис. 3.31 отличается от схемы на рис. 3.28 только наличием этой перемычки, однако это заметно меняет процедуру расчета и влияет на надежность избыточной системы.

Разделим систему на рис. 3.30 на две подсистемы с номерами I и II (см. пунктирные границы на рис. 3.30) и изобразим их структурные схемы на рис. 3.32.

Рис. 3.32 – Декомпозиция структурной надежностной схемы системы с индивидуальным резервом на две подсистемы

Известна формула для определения Р_с^I и Р_с^II для подсистем I и II:

Р_с^I(t)=P₁+P₃ - P₁P₃ Р_с^II(t)=P₂+P₄ - P₂P₄

Получаем новую систему из двух последовательно включенных подсистем Р_с^I и Р_с^II (рис. 3.33).

Рис. 3.33 – Структурная надежностная схема последовательного

соединения двух подсистем

Для системы на рис. 3.33 легко определяется Р_с(t) и t_Н^с.

Р_с(t)=Р_с^I(t)Р_с^II(t)=(P₁+P₃ - P₁P₃)(P₂+P₄ - P₂P₄)= P₁P₂+ P₁P₄+ P₂P₃+P₃P₄ - P₁P₂P₃ - P₁P₂P₄ - P₁P₃P₄ - P₂P₃P₄ + P₁P₂P₃P₄

или

Р_с(t)=

Все формулы заметно упрощаются для случая равнонадежных элементов с интенсивностью отказов :

Р_с(t)=4Р² – 4Р³ + Р⁴=4е^-2t - 4е^-3t + е^-4t

Анализ эффективности систем с групповым и индивидуальным резервом

Нагруженные системы с групповым и индивидуальным резервом внешне очень похожи – в них по 4 одинаковых (в смысле ) элемента, все различие заключается в отсутствии "перемычки" в первой системе. Однако в смысле надежности, система с индивидуальным резервом явно "лучше" системы с групповым резервом:

t_Н^с_гр=0,75 t_H t_Н^с_инд=0,916 t_H

Можно ввести критерий эффективности систем

Показатель надежности системы t_Н^с с индивидуальным равнонадежным резервом увеличивается на 22% за счет введения абсолютно надежной "перемычки". Можно показать, что и всегда больше единицы и при любых интенсивностях ₁, ₂, ₃, ₄.

Нарисуем снова обе схемы резервирования и пронумеруем их элементы (рис. 3.34)

Система работоспособна Система работоспособна

если исправны элементы если исправны элементы

I 1 2 3 4 I 1 2 3 4

II 1 2 II 1 2

III 3 4 III 3 4

IV 1 4

V 2 3

Рис. 3.34 – Анализ эффективности группового и индивидуального резервирования: t_Н^с_гр=0,75 t_H, t_Н^с_инд=0,916 t_H

Варианты I, II, III совпадают у обоих систем. Но система с индивидуальным резервом имеет еще два дополнительных варианта работоспособности IV и V!. Значит она всегда, при любых сочетаниях интенсивностей ₁, ₂, ₃, ₄, более надежна, чем система с групповым резервом. Это утверждение справедливо при любом числе резервируемых элементов в обеих схемах.

Так, например, для системы из трех основных и трех резервных равнонадежных элементов (рис. 3.35) получаем

Рис. 3.35 – К расчету надежности системы из шести равнонадежных элементов с групповым и индивидуальным резервом

Р_с(t)=2Р³ – Р⁶ Р_с(t)=(2Р – Р²)³= 8Р³ – 12Р⁴ + 6Р⁵ – Р⁶

Показатель эффективности

отчетливо показывает преимущество индивидуального резервирования. Отметим, однако, что стоимость системы с индивидуальным резервом всегда выше стоимости системы с групповым резервом.

Расчет надежности мостиковой схемы

Рассмотренные выше достоинства системы с индивидуальным резервированием базировались на допущении об абсолютно надежной "перемычке" СД между двумя цепочками элементов (рис. 3.36 а).

Рис. 3.36 – Структурные надежностные схемы мостикового соединения

На практике "перемычка" может иметь отказы типа "обрыв", интенсивность которых _п соизмерима с  элементов. При учете _п структурная надежностная схема системы принимает вид показанный на рис. 3.36 б.

Такая схема получила название мостиковой. Для расчета показателей надежности мостиковой схемы Р_с и t_Н^с первоначально положим ₁=₂=₃=₄=_п=, а элементам присвоим номера с 1 по 5 (см. рис. 3.37)

Рис. 3.37 – Структурная надежностная схема мостикового соединения равнонадежных элементов с ненадежной перемычкой

Напомним, что система работоспособна, если существует цепь АБ. Выпишем возможные состояния работоспособности и варианты:

Таблица 5

Состояния работоспособности и отказа мостиковой схемы

NN состояния	Число элементов схемы		Состояние системы	Число вариантов состояния	Вероятность возникновения состояния
	исправных	отказавших
I II III IV V	5 4 3 2 1	0 1 2 3 4	Работоспособное Работоспособное Работоспособное Работоспособное Отказ	1 5 8 2 4

Вероятности возникновения состояний I-IV:

Р_I=РPPPP= Р⁵

Р_II=5РPPPQ=5Р⁴ (1-P)=5P⁴-5P⁵

Р_III=8PPPQQ=8Р³Q² =8Р³(1-P)²=8P³ - 16P⁴ - 8P⁵

Р_IV=2PPQQQ=2Р²Q³ =2Р²(1-P)³=2P² + 6P⁴ - 6P³ - 2P⁵

где Р(t)= е^-t, Q=1-P.

Работоспособная система находится в одном из четырех состояний I, II, III, IV с вероятностями Р_I, P_II, P_III, P_IV тогда:

Р_с(t)= Р_I + Р_II + Р_III + Р_IV = 2Р⁵ – 5Р⁴ + 2Р³ + 2Р²

Далее находим

Показатель эффективности резервирования

Итак, средняя наработка на отказ мостиковой схемы на 12,5% ниже аналогичного показателя для схемы с индивидуальным резервом.

Допущение о равнонадежности всех элементов схемы и "перемычки" весьма жесткое. Если считать равнонадежными только элементы с интенсивностью , а "перемычку" характеризовать интенсивностью отказа _п, то получим более сложные формулы для расчета Р_с и t_Н^с.

Р_с(t)= Р⁴P_п + 4Р³ P_п (1-P) + Р⁴ (1-P_п) + 4Р³ (1-P) (1-P_п) + 4Р² P_п (1-P)² + 2Р² (1-P)² (1-P_п) =

= 2Р² + 2Р²P_п – 4Р³P_п + 2Р⁴ P_п - Р⁴ = 2e^-2t + 2e^{-(2+2п)t} - 4e^{-(3+2п)t} + 2e^{-(4+п)t} - e^-4t

При _п=0 имеем схему с индивидуальным резервом и . При _п мостиковая схема превращается в схему с групповым резервом и . Наконец, при _п= получаем мостиковую схему из равнонадежных элементов с t_H^c=0,816t_H

Анализ эффективности резервирования системы с отказами разного вида

Многие электротехнические элементы ТСА подвержены действию отказов типа "обрыв" (О) и "короткое замыкание" (КЗ). Отказ "обрыв" выводит из строя сам элемент и всю цепочку последовательно соединенных элементов (рис. 3.38).

Рис. 3.38 – К понятию отказа типа “обрыв”

Отказ типа КЗ также выводит из строя (шунтирует) отказавший элемент и все параллельно включенные другие элементы (рис. 3.39).

Рис. 3.39 – К понятию отказа типа “короткое замыкание”

Один и тот же элемент может находится в одном из трех состояний:

работоспособности (с вероятностью P(t))

отказа типа "обрыв" (с вероятностью Q₀(t))

отказа типа КЗ (с вероятностью Q_кз(t))

Эти случайные события независимы, несовместны и образуют полную группу событий:

P(t) + Q₀(t) + Q_кз(t) = 1

Для повышения надежности элемента 1 с отказами "обрыв" и КЗ применяют нагруженное резервирование с использованием равнонадежных элементов 1 и 2 (рис. 3.40).

Рис. 3.40 – Структурная надежностная схема резервированной системы с отказами элементов типа КЗ и “обрыв”

Задача анализа такой системы заключается в определении вероятности безотказной работы системы P_с(t), Q_c(t), t_H^c по известным P(t), Q₀(t), Q_кз(t) элементов и нахождении условий эффективности резервирования.

Состояния работоспособности резервированной системы:

I – исправны элементы 1 и 2;

II – исправен элемент 1 и отказал элемент 2 ("обрыв");

III – исправен элемент 2 и отказал элемент 1 ("обрыв");

Для работоспособного состояния системы можно определить

P_c(t) = P(t)P(t) + P(t)Q₀(t) + P(t)Q₀(t) = P²(t) + 2P(t)Q₀(t)

Хотя Q_кз(t) явно не входит в эту формулу, но отказы КЗ косвенно влияют на надежность системы. Действительно, определив Q₀(t) = 1- P(t) - Q_кз(t), получим

Р_с(t)= 2Р(t) – Р²(t) - 2Р(t)Q_кз(t)

Q_с(t)= 1 - 2Р(t) + Р²(t) + 2Р(t)Q_кз(t)

Средняя наработка до отказа находится по обычной формуле

Для оценки эффективности резервирования можно использовать критерий

Q_p(t)=P_c(t)/ P(t)

и очевидное условие:

Q_p>1 или P_c(t)> P(t)

Подставляя сюда Р_с=Р²+2РQ₀, получим

Р²+2РQ₀P(t)

или: Р+2Q₀>1.

После подстановки Q₀(t) = 1- P(t) - Q_кз(t) получаем окончательно:

Q₀(t) > Q_кз(t)

Итак, резервированная система становится эффективной, если у ее элементов отказы "обрыв" происходят чаще, чем отказы типа "короткое замыкание". Следует указать, что применительно к техническим средствам автоматизации частота отказов типа "обрыв" значительно (в 3-4 раза) превышает частоту отказов КЗ.

Для исключения индивидуального влияния на надежность системы отказа элемента типа "обрыв" элементы должны быть соединены параллельно, а для отказа типа КЗ – последовательно. Для исключения одновременного влияния отказов типа "обрыв" и КЗ на надежность системы, необходимо применять параллельно-последовательное соединение элементов (рис. 3.41)

Рис. 3.41 – Структурная надежностная схема параллельно-последовательного соединения элементов с отказами типа “обрыв” и КЗ

Пусть в каждой цепочке будет k равнонадежных элементов с P(t), Q₀(t), Q_кз(t), а число самих цепочек равно m. Полагаем, что при КЗ в одной из цепочек отказ типа "обрыв" уже не происходит, и наоборот, при "обрыве" элемента КЗ в цепочке не происходит. Кроме того, отказы "обрыв" и КЗ не влияют на показатели надежности работающих элементов.

При указанных условиях вероятность безотказной работы системы (рис. 3.41) равна:

P_c(t)=[ 1-Q_кз^k(t)]^m - { 1-(1-Q₀(t))^k}^m

Средняя наработка до отказа

Применение параллельно-последовательного соединения равнонадежных элементов с отказами КЗ и "обрыв" эффективно (в смысле _р=P_c(t)/P_элем>1 ) при условии

Q_кз+(1-Q_кз^k)^m>(1-Q₀)+{ 1-(1-Q₀)^k}^m

Расчет надежности мажоритарных систем

Во многих системах технологической сигнализации, диагностики и защиты оборудования применяют так называемые мажоритарные схемы, представляющие из себя резервированные системы с нечетным числом элементов. Такая система считается работоспособной, если исправна большая часть элементов, под отказом мажоритарной системы понимается событие, когда выйдут из строя более половины элементов.

Рассмотрим функциональную схему мажоритарной системы из N=2m+1 “голосующих” элементов (где m=1, 2, 3, … и тд.) и так называемого кворум – реле (КР), выходной сигнал которого Х_б в точке Б равен единице при исправном состоянии m+1 и более элементов и равен нулю в противном случае (рис. 3.42)

Рис. 3.42 – Функциональная схема мажоритарной системы

Для упрощения задачи анализа мажоритарной системы будем считать все элементы равнонадежными с вероятностями Р(t) и интенсивностями отказов , а надежность кворум – реле опишем распределением Р_кр(t). Требуется определить вероятность безотказной работы системы Р_с(t) и среднюю наработку до отказа при любом числе резервных элементов 2m+1.

Представим мажоритарную систему в виде двух основных блоков I и II, в один из которых входят 2m+1 элемента, во второй – КР (рис. 3.43)

Рис. 3.43 – Блочная схема мажоритарной системы

Структурная надежностная схема мажоритарной системы в блочном варианте имеет вид (рис. 3.44), а вероятность Р_с равна

Р_с(t)=P_I(t)P_II(t),

где P_I(t) характеризует надежность резервированного блока I, а P_II(t) = P_кр(t), здесь P_кр – известное распределение, например, экспоненциальное с параметром _кр.

Рис. 3.44 – Структурная надежностная схема блочной мажоритарной системы

Определим вероятность P_I(t) при известных P(t)=exp{-t} и заданном нечетном N. Пусть m=1 и тогда N=3.

Выпишем состояния работоспособности блока I и вероятности их возникновения и поместим их в табл. 6.

Таблица 6

Состояния работоспособности и отказа мажоритарной системы из 3 элементов

NN состояния	Число элементов блока I		Состояние системы	Число вариантов состояния	Вероятность возникновения состояния
	Исправных	отказавших
I II III	3 2 1	0 1 2	Работоспособное Работоспособное Неработоспособное	1 3 3

Тогда

Р_I(t)=РPP+3РРQ= Р³ + 3P²(1-P)=P³+3P² - 3P³=3P² – 2P³

где Q=1-P,

Для всей мажоритарной системы:

Р_c(t)= Р_I(t)Р_II(t)= 3Р²P_кр – 2Р³P_кр = 3e^{-(2+кр)t} - 2e^{-(3+кр)t}

При _кр= получим Р_с=3e^-3t – 2e^-4t;

Пусть m=2 и N=5. Найдем состояния работоспособности блока I и соответствующие им вероятности и поместим их в табл.7.

Таблица 7

Состояния работоспособности и отказа мажоритарной системы

из 5 элементов

NN состоя-ния	Число элементов блока I		Состояние системы	Число вариантов состояния	Вероятность возникновения состояния
	Исправных	Отказавших
I II III IV	5 4 3 2	0 1 2 3	Работоспособное Работоспособное Работоспособное Неработоспособное	1 5 10 10

Вероятность работоспособного состояния блока

Р_I(t)=РPPPP +5 PP PP Q + 10 PPPQQ = Р⁵ + 5P⁴(1-P) + 10P³(1-P)² =6P⁵ - 15P⁴ + 10P³

Средняя наработка до отказа резервированного блока 1:

Для всей мажоритарной системы:

Р_c(t)= Р_I(t)Р_II(t)= 6Р⁵P_кр – 15Р⁴P_кр + 10Р³P_кр

Если P_кр = exp {-t}, то

Р_c(t)= Р_I(t)Р_II(t)= 6Р⁶ – 15Р⁵ + 10Р⁴

Наконец, пусть имеем произвольное натуральное число m и N=2m+1, m=1,2,3… Состояния работоспособности и отказа для такой системы приведены в табл.8.

Таблица 8

Состояния работоспособности и отказа мажоритарной системы из N=2m+1 элементов

NN состояния	Число элементов блока I		Состояние системы	Число вариантов состояния	Вероятность возникновения состояния
	Исправных	отказавших
I II III i+1 m	N N-1 N-2 N-i m	0 1 2 i<m+1 N-m	Работоспособное Работоспособное Работоспособное Работоспособное Работоспособное

здесь С_i^N – число сочетаний из N по i; , 0!=1, 1!=1.

Вероятность безотказной работы резервированного блока I равна

Р_I(t)=Р^N + N P^N-1Q + … + C_i^NP^N-iQⁱ + … +C_m^NР^mQ^N-m

Для всей мажоритарной системы

P_c(t)=P_I(t)Р_II(t)=Р^NP_кр + N P^N-1QP_кр + … + C_i^NP^N-iQⁱP_кр + … +C_m^NР^mQ^N-mP_кр

Если все элементы и КР равнонадежны и _кв=, то получим

P_c(t)=P_I(t)Р_II(t)=Р^N+1 + N P^N(1-Р) + … + C_i^NP^N-i+1(1-Р)ⁱ + … +C_m^NР^m+1(1-Р)^N-m

При анализе надежности мажоритарных систем возникает вопрос эффективности резервирования одного элемента несколькими элементами. Для ответа на этот вопрос рассмотрим одну простую и три мажоритарных системы S₁, S₃, S₅ и S₇, состоящие из одного, трех, пяти и семи равнонадежных элементов с интенсивностью отказов  и вероятностью безотказной работы Р(t) (см табл. 9).

Обозначим характеристики надежности каждой системы: P_c¹, t_H¹; P_c³, t_H³; P_c⁵, t_H⁵, P_с⁷, t_н⁷.

Вычислим эти показатели и поместим их в табл. 9

Таблица 9

Характеристики надежности мажоритарных систем с N= 1, 3, 5, 7 элементов

Число	N=1	N=3	N=5	N=7
Надежностные схемы
Характеристики надежности

Из анализа зависимости t_H^c(N) следует, что средняя наработка до отказа мажоритарной системы снижается примерно на 8,8% при возрастании числа элементов с 3 до 7. Чем больше элементов в мажоритарной системе, тем ниже ее надежность?

Прежде чем ответить на этот вопрос, рассмотрим поведение другого показателя надежности систем – Р_с(t).

Введем показатель эффективности резервирования

, =3, 5, 7

Понятно, что: резервирование эффективно (в смысле повышения надежности) при В_(t)>1,

резервирование неэффективно (понижает надежность) при В_(t)<1,

резервирование не влияет на надежность системы при В_(t)1 или В_(t)=1 (хотя существенно (в 3, 5, 7 раз) повышает стоимость резервированной системы по сравнению со стоимостью одного элемента)

Показатель эффективности В_(t) является функцией времени t и поэтому проверка неравенств В_(t)><1 должна осуществляться при разных t.

Определим показатели эффективности резервирования:

Функция P(t)=e^-t изменяется от 1 до 0.

При P(t₀)=0,5 непосредственными расчетами получим:

В₃(t₀)=1, В₅(t₀)=1, В₇(t₀)=1

При t<t₀ функция P(t)>0.5 и снова непосредственным расчетом устанавливаем, что В₃(t)>1, В₅(t)>1, В₇(t)>1, t0, t₀ .

При t>t₀ и P(t)<0.5 имеем В₃(t)<1, В₅(t)<1, В₇(t)<1, t0, t₀ .

Результаты расчетов показателей эффективности схем показаны на рис. 3.45 и 3.46.

Рис 3.45 – Результаты расчета показателя эффективности резервирования мажоритарной системы

Рис 3.46 – Результаты расчета средней наработки на отказ мажоритарной системы из разного числа элементов

Итак, при малых значениях времени t, t<t₀, когда элемент достаточно надежен и P(t)>0.5, введение резервных элементов в мажоритарную систему повышает ее надежность P_с(t), хотя несколько (на 8-9%) уменьшает среднюю наработку до отказа t_H^с.

При конструировании мажоритарной системы из малонадежных элементов с Р<0,5 (или при длительной эксплуатации ее) функция надежности P_с(t) становится меньше P(t) тем заметнее (на 8-9%), чем больше “голосующих” элементов включено в систему.

На практике чаще всего конструируют и применяют мажоритарные системы из трех или, реже пяти равнонадежных и относительно "новых" элементов с P(t)>0.5 при этом выбор числа m обусловлен представительностью информации от голосующих элементов, а не их надежностью. Такие резервированные системы достаточно надежны (по показателю P_с(t)) и обладают невысокой стоимостью.

Надежностная чувствительность локальных технических систем

Надежностная чувствительность технической системы характеризует влияние малых изменений параметров элементов на общесистемные показатели надежности типа Р_с(t), t_с^н. Количественной мерой чувствительности системы по параметру а_i служат функции (коэффициенты) чувствительности:

, ,

где а_i – параметр или характеристика i-го элемента системы, i=1, 2, … (чаще всего в качестве а_i выступает интенсивность отказов _i(t) или λ_i для экспоненциального распределения, реже – функция надежности Р_i(t) ).

Знание функций чувствительности полезно при выборе наиболее (наименее) изменчивых общесистемных показателей надежности резервируемой системы, а также при определении наиболее (наименее) “влиятельных” элементов и момента времени t₀, когда показатели надежности максимальны (минимальны). Наконец, функции чувствительности находят применение при структурном и параметрическом синтезе технических систем с заданным или экстремальным уровнем надежности.

Рассмотрим более детально функции чувствительности простой системы, состоящей из m элементов с характеристиками λ_i, Р_i(t); в качестве общесистемных показателей надежности будем использовать вероятность Р_с(t) и среднюю наработку до отказа t_с^н.

Введем функции чувствительности показателей Р_с(t), t_с^н по интенсивностям отказов λ_i, :

, ,

Эти функции имеют физическую размерность, определяемую размерностью λ_i, t_с^н (иногда их называют размерными чувствительностями). Размерность функций затрудняет сравнение чувствительностей разнородных систем, поэтому чаще всего используют безразмерные или логарифмические функции чувствительности:

,

Функции чувствительности V_i^P, V_i^t связаны с логарифмическими функциями Ψ_i^P, Ψ_i^t простыми соотношениями:

,

Функции Ψ_i^t, V_i^t не зависят от времени, поэтому они называются коэффициентами чувствительности.

Аналитическое определение функций чувствительности

Пусть задана структурная надежностная схема некоторой простой локальной системы из m элементов с параметрами λ_i, Р_i(t), i=1,m. Требуется определить безразмерные функции чувствительности системных показателей надежности Р_с(t), t_с^н в любой момент времени t₀, 0<t₀< по параметрам λ_i или Р_i.

Показатель Р_с(t) является функцией m переменных Р_i, i=1,m :

Р_с(t)=f(Р₁, Р₂, …, Р_i, …, Р_m).

Зная P_c(t), легко определяется и

Для нахождения чувствительностей продифференцируем Р_с(t) и t_с^н по независимой переменной λ_i (или Р_i) в произвольный фиксированный момент времени t₀ и получим размерные функции чувствительности:

, ,

Далее построим безразмерные функции чувствительности:

, ,

Если требуется вычислить ординаты функции чувствительности ; , то вместо t₀ подставляется интересующее значение t.

Проиллюстрируем процедуру определения функций чувствительностей рядом примеров.

Задана нерезервированная система из m элементов с интенсивностями λ_i, (рис. 3.47).

Рис. 3.47 – К расчету чувствительности нерезервированной

системы из m элементов

Системные показатели надежности имеют вид:

где

Определим функции чувствительности системы по параметру _i при произвольном t:

,

,

Из анализа полученных выражений следует, что для безызбыточной системы размерные функции чувствительности не зависят от номера элемента и зависят только от значений интенсивностей отказов _i, .

Логарифмические функции чувствительности для данной системы таковы:

,

,

Из последних формул следует, что форма функций Ψ_i^P, Ψ_i^t не зависит от номера элемента, но интенсивность отказов _i влияет на масштаб функции по оси ординат.

Чувствительность резервированной системы из двух элементов с интенсивностями ₁, ₂, ₁ ₂ (рис. 3.48) по общесистемным показателям Р_с(t)= Р₁ + Р₂ – Р₁ Р₂ =

,

по параметрам _i, при произвольном t определяется по выражениям:

,

,

Рис. 3.48 – К расчету чувствительности резервированной

системы из двух элементов

Функции чувствительности резервированной системы зависят от номера элемента i,точнее, от значения _i.

Логарифмические функции чувствительности при ₁₂ таковы:

,

,

Для равнонадежных элементов, когда ₁=₂= и Р₁=Р₂=Р, получим более простые формулы:

, ,

, ,

Численный метод определения функций чувствительности

Для многих систем с неравнонадежными элементами производные представляют собой весьма сложные дробно-рациональные функции, что делает их малопригодными для анализа и синтеза надежностных схем. В этих случаях за функции чувствительности принимают конечные разности :

,

,

где _i – малые приращения _i.

По известным V_i^P, V_i^t далее вычисляются приближенные значения безразмерных функций чувствительности.