Действие пятое. Умножение матриц.

Какие матрицы можно умножать?

Чтобы матрицу K можно было умножить на матрицу L необходимо, чтобы число столбцов матрицы K равнялось числу строк матрицы L.

Пример:

Можно ли умножить матрицу

на матрицу

m=n, значит, умножать данные матрицы можно.

А вот если матрицы переставить местами, то, в данном случае, умножение уже невозможно!

m≠n, следовательно, выполнить умножение невозможно, и вообще, такая запись не имеет смысла .

Следует отметить, что в ряде случаев можно умножать матрицы и так, и так. Например, для матриц,

возможно как умножение MN, так и умножение NM.

Как умножить матрицы ?

Пример:

Умножить матрицы

Я буду сразу приводить формулу для каждого случая:

– попытайтесь сразу уловить закономерность.

Пример сложнее:

Умножить матрицы

Формула:

В результате получена так называемая нулевая матрица.

Если в задании предложено умножить матрицу M на матрицу N, то и умножать нужно именно в таком порядке. Ни в коем случае не наоборот.

Переходим к матрицам третьего порядка:

Умножить матрицуы

Формула очень похожа на предыдущие формулы:

А теперь попробуйте самостоятельно разобраться в умножении следующих матриц:

Умножьте матрицы

Действие шестое. Нахождение обратной матрицы.

Рассмотрим квадратную матрицу A. Обратную матрицу можно найти по следующей формуле:

где |A| – определитель матрицы A, – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц.

Обозначения: обратная матрица обозначается надстрочным индексом .

Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два».

Пример:

Найти обратную матрицу для матрицы

1) Сначала находим определитель матрицы.

Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ.

В рассматриваемом примере, как выяснилось,

,

а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров M

Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица A, то есть в данном случае

.

Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

Возвращаемся к нашей матрице

Сначала рассмотрим левый верхний элемент

Как найти его минор?

А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы :

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

Готово.

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы A.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений

Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы A.