Вероятности совместных событий. 2.08

Совместными событиями называются такие случайные события, появление которых не исключает появление других событий.

Совместные события бывают зависимыми и независимыми. События называют независимыми, если появление одних не меняет вероятности наступления других событий. В противном случает события называются зависимыми.

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий А или В (или А, или В, или А и В вместе) вычисляется по формуле:

.

Пример 1. Две фирмы готовят к выставке по одной новой модели автомобиля. Вероятность успешной подготовки модели первой фирмой равна 0,9, а второй — 0,7. С какой вероятностью на рынке появится (хотя бы одна) новая модель?

Решение. События (появление новых моделей) совместны и независимы. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий находится по формуле:

.

Задача 1. Вероятность, что предприниматель заключит контракт: в городе А — 0,9, в городе В — 0,8. Чему равняется вероятность, что предприниматель заключит контракт хотя бы в одном из этих городов?

Ответ: 0,9 + 0,8 – 0,9 · 0,8 = 0,998.

Для вычисления вероятности появления хотя бы одного из нескольких совместных независимых событий А₁, А₂, …, А_n (могут наступать либо все события, либо часть из них) используют формулу:

.

Пример 2. Три охотника стреляют в цель. Вероятность попадания каждого — Р(А) = 0,7. С какой вероятностью в цель попадет хотя бы один охотник?

Решение. Используем противоположное событие: охотник не попадет в цель Р(неА) = 1 – 0,7. Три охотника не попадут в цель с вероятностью Р = (1 – 0,7) · (1 – 0,7) · (1 – 0,7). Следовательно, хотя бы один из охотников попадет в цель с вероятностью

.

Задача 2. Консультационная фирма рассылает предложения своим клиентам. По оценке руководства, фирма не получит ни одного ответа с вероятностью 0,3. С какой вероятностью фирма получит ответ хотя бы от одного клиента?

Ответ: Р(А) = 1 – 0,3 = 0,7.

Вероятность появления двух совместных независимых событий, когда должно произойти и событие А, и событие В, вычисляется по формуле:

.

Пример 3. Бросают две игральные кости. Найти вероятность, что выпадут две «шестерки».

Решение. Выпадение «шестерок» — независимые события. Вероятность, что выпадет одна «шестерка» на любой из костей Р(А) = Р(В) = 1/6. Вероятность совместного появления двух независимых событий Р(АВ) = Р(А)Р(В) = 1/6 · 1/6 = 1/36.

Задача 3. Опрос молодежи, покупающей аудиокомпакт-диски, показал, что 10% приобретают диски группы «АВВА», 15% берут диски группы «ВАВА». С какой вероятностью случайный молодой человек приобретет диски обеих групп?

Ответ: 0,1 · 0,15 = 0,015.

Вопросы

1. Какие события называются совместными и несовместными, зависимыми и независимыми?

2. Назовите примеры полной группы событий. Какие события называются противоположными? Как вычислить вероятность противоположного события?

3. Как вычислить вероятность появления двух совместных независимых событий: и события А, и события В?

4. Как вычислить вероятность появления хотя бы одного из двух совместных независимых событий А или В?