1В). Ответы: запас продуктивности равен 1.0065.

Глава 6. Модели международной торговли

Основу линейной модели международной торговли составляет структурная матрица торговли А, порядок которой равен числу стран-участниц, а на позиции находится элемент , равный части торгового бюджета -й страны, идущего на импорт товаров из -й страны. Предполагается также, что каждая страна расходует весь свой торговый бюджет на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран, причем А>0. Очевидно, сумма элементов каждого столбца матрицы А равна1, а выручка -й страны от торговли составит , где - торговый бюджет -й страны.

Определение. Сбалансированность торговли (или бездефицитность торгового бюджета) означает выполнимость неравенств:

(6.1)

Лемма 6.1. Система неравенств (6.1) равносильна системе равенств:

(6.2)

Доказательство. Предположим, что хотя бы одно из неравенств в (6.1) строгое. Тогда, сложив их все почленно, получим:

(6.3)

Но

,

Что противоречит (6.2). Лемма доказана.

Теорема 6.1. Всегда существует положительный вектор торговых бюджетов стран-участниц, обеспечивающий сбалансированность торговли. При этом любой другой такой вектор может быть получен из умножением на некоторое положительное число.

Доказательство. Сбалансированность торговли означает существование такого положительного вектора , при котором (лемма 6.1). Но по следствию 4.2 и теореме 4.2 матрица А имеет максимальное собственное значение , равное 1, и ему соответствует некоторый положительный собственный вектор , причем любой друцгой положительный собственный вектор матрицы А имеет вид , где - произвольное положительное число (см. задачу 7 п.4.1). Теорема доказана.

Теорема 6.1. означает возможность задать такие соотношения торговых бюджетов стран-участниц, при которых будет обеспечена сбалансированность торговли.

6.1. Задачи для самостоятельного решения

1. Дана структурная матрица торговли А. Необходимо проверить, расходует ли каждая страна весь свой торговый бюджет на закупку товаров внутри страны и на импорт из других стран-участниц, и в случае утвердительного ответа определить соотношения между торговыми бюджетами стран-участниц, обеспечивающие сбалансированность торговой модели.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) ;

е) .

6.2. Ответы, указания, решения Общий алгоритм решения задач 1 а)- 1. Е)

Ввести структурную матрицу А. Проверить равенство единицы расходной части торгового бюджета каждой страны:

В случае утвердительного ответа, вычислить собственный вектор матрицы А, соответствующий максимальному собственному значению, равному 1 (см. теорему 6.1), и после этого нормализовать его к более удобному виду:

1 а). Ответы: торговые бюджеты должны находиться в соотношении 1.606 : 2.923 : 2.704 : 2.729 : 1 : 1.874.