Приложение б
(продолжение)
-
2.10
2.22
2.11
2.23
2.12
2.24
Задание 3 Вычислите двойные интегралы по областям, ограниченным указанными линиями
-
3.1
3.13
3.2
3.14
3.3
3.15
3.4
3.16
3.5
3.17
Приложение б
(окончание)
-
3.6
3.18
3.7
3.19
3.8
3.20
3.9
3.21
3.10
3.22
3.11
3.23
3.12
3.24
Приложение в
Правила вычисления двойных интегралов
Различают два основных вида области интегрирования.
Область интегрирования
D ограничена слева и справа
прямыми
и
(
),
а снизу и сверху – непрерывными кривыми
и
(
),
каждая из которых пересекается
вертикальной прямой на интервале
в одной точке (рис.1)
y
Рис. 1
При интегрировании
такая область проектируется на ось ОХ
и определяются пределы интегрирования
.
Точку Р называют точкой «входа», точку
Q – точкой «выхода» (рис.1). По уравнениям
линий на которых лежат точки P и Q
определяются пределы интегрирования
внутреннего интервала
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
(А)
причём сначала
вычисляется внутренний интеграл
,
в котором х считается постоянным.
Область интегрирования
D ограничена снизу и сверху
и
(
),
а слева и справа – непрерывными кривыми
и
(
)
, каждая из которых пересекается
горизонтальной прямой на интервале
только в одной точке (рис. 2)
Рис. 2
Приложение в
(окончание)
Область D
проектируется на ось ОУ и определяются
пределы интегрирования внутреннего
интеграла
.
По точкам С и D аналогично
определяются границы внутреннего
интеграла. В этом случае х выражается
через у
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле
(B),
причём сначала
считается внутренний интервал
,
в котором y считается постоянным.
Правые части указанных формул называются двукратными (или повторными) интегралами.
Если область интегрирования на интервале или (рис.3) ограничена графиками двух или более функций, то двойной интеграл разбивается на сумму двух или более повторных интегралов.
Рис. 3
Обратите внимание
При выборе формулы (А) или (В) анализируется:
- область интегрирования D, чтобы избежать разбиения двойного интеграла на сумму повторных;
- подынтегральная функция, чтобы проще вычислять внутренний интеграл.