gdzie Q oznacza dzienną produkcję i sprzedaż komputerów, a P jedno­stkową cenę, wyrażoną w tys. zł.

Zależność kosztów całkowitych od wielkości produkcji opisuje rów­nanie:

K = 5 + 4Q,

gdzie Q oznacza wytwarzaną i sprzedawaną ilość, a K - sumę ponoszonych kosztów (w tys. zł).

Dla uproszczenia zakładamy, że popyt jest liniową funkcją ceny, a koszt całkowity - liniową funkcją wielkości produkcji. To drugie założenie oznacza, że nie działa prawo malejących przychodów i nie występują korzyści ze skali.

Mając te dwa równania, możemy określić optymalne rozmiary produkcji oraz wyznaczyć właściwy poziom ceny.

Najpierw przekształcamy równanie popytu w równanie ceny:

P = 5 - 0,02 5Q.

Następnie tworzymy równanie utargu pamiętając, że całkowity utarg U jest iloczynem sprzedanej ilości i ceny jednostkowej:

U = PQ = 5Q - 0,025Q².

Optymalną wielkość produkcji wyznacza zasada u' = k', która postuluje zrównanie utargu krańcowego z kosztem krańcowym.

Utarg krańcowy to przyrost utargu całkowitego wynikający ze sprzedaży dodatkowej jednostki produktu, zaś koszt krańcowy to dodatkowy koszt związany z wytworzeniem i sprzedażą tej jednostki. Przy dowolnie małych przyrostach produkcji utarg krańcowy jest pochodną funkcji U względem Q, a koszt krańcowy - pochodną funkcji K względem Q.

W naszym przykładzie u' = 5-0,05Q, zaś =4. Szukamy zatem wielkości produkcji, przy której (zgodnie z zasadą spełniony będzie warunek:

5-0,05Q = 4.

Rozwiązaniem jest Q = 20. Wstawiając to do równania ceny, znajdujemy P = 4,5. Zatem przedsiębiorstwo osiągnie maksymalny zysk, jeżeli będzie wytwarzać 20 komputerów dziennie i sprzedawać je po 4,5 tysięcy zł za sztukę.

Realizowany wówczas zysk całkowity (w skali dziennej) wyniesie:

Z = U - K = 4,5 x 20 - (5 + 4 x 20) = 5 tys. zł.

Jest to najwyższy osiągalny w tych warunkach poziom zysku.

Podstawową maksymę analizy marginalnej można także przedstawić w kategoriach zmian sumy zysku. W poszukiwaniu optymalnej wielkości produkcji należy mianowicie zmieniać stopniowo wielkość produkcji w kie­runku zapewniającym wyższe zyski i zatrzymać się w momencie, gdy dalsze zmiany nie poprawiają wyniku. W tym momencie zysk krańcowy staje się zerowy, a zysk całkowity osiąga maksymalną wartość.

W omawianym wyżej przykładzie wyjściowe równanie zysku (Z) wy­glądało następująco:

Z — U -K = -5 + Q- 0,025Q².

Równanie to jest funkcją celu przedsiębiorstwa, podlegającą maksymalizacji, w której zmienną decyzyjną (kontrolowaną przez decydenta) jest poziom produkcji Q.

Zysk krańcowy można obliczyć jako pochodną tej funkcji względem Q. Jest on opisany równaniem:

z' = 1 - 0,05Q.

Optymalna dla przedsiębiorstwa wielkość produkcji to Q = 20, ponieważ wówczas zysk krańcowy wynosi zero. Wstawiając Q = 20 do równania zysku całkowitego, otrzymujemy: Z = 5, tzn. ten sam wynik, do którego doszliśmy poprzednio nieco inną drogą.

Tak więc warunki u' = k' i z' = 0 są równoważne. Obydwa wskazują poziom produkcji zapewniający maksymalizację zysku.

Zasada u' = k' lub z' = 0 pozwala wyznaczyć optymalną wielkość produkcji, która maksymalizuje wartość przyjętej funkcji celu, zapewniając najlepszy możliwy wynik ekonomiczno-finansowy, tzn. maksymalny zysk lub minimalną stratę. Decyzja o realizacji tej produkcji należy do przedsiębior­stwa.

Aby podjąć prawidłową decyzję, należy zbadać uzyskiwany wynik. Jeżeli pomimo wyboru optymalnej skali operacji przedsiębiorstwo ponosi straty lub osiąga znikomy zysk, należy zastanowić się nad sensownością danej działalności, tzn. rozważyć, jakie kroki mogą być podjęte dla poprawy uzyskiwanego wyniku (np. zmniejszenie niektórych składników kosztów). W przypadku, gdy starania te nie przynoszą pożądanego efektu, trzeba zrezygnować z nierentownej działalności i szukać szansy w innych dziedzi­nach.

Analiza wrażliwości

Analiza wrażliwości dotyczy kwestii, jak należy zmodyfikować nasze działanie, gdy następują określone zmiany warunków, w których działamy.

Rozważmy, jak na decyzje przedsiębiorstwa dotyczące skali produkcji i poziomu ceny wpłynie wzrost kosztów produkcji.

Jeżeli wzrosną stałe składniki kosztów (niezależne od wielkości produk­cji), nie pociągnie to za sobą konieczności zmian podjętych wcześniej decyzji produkcyjnych i cenowych, o ile tylko posiadane fundusze po­zwolą pokryć zwyżkę kosztów. Koszty stałe - takie jak wydatki biurowe, koszty administracyjne, opłaty za najem lokalu, czy amortyzacja środków trwałych - nie wpływają bowiem na wysokość kosztu krańcowego. Oczywiście, w związku ze wzrostem kosztów zmniejszeniu ulegnie zysk przedsiębiorstwa. Na przykład, jeżeli w rozważanym poprzednio przy­kładzie koszt stały wzrośnie z 5 do 8 tys. zł, uszczupli to o 3 tys. zł dzienny zysk przedsiębiorstwa.

Inaczej będzie, gdy wzrosną koszty zmienne (zależne od rozmiarów produkcji) - takie jak koszty robocizny, materiałów i części składowych, czy koszty energii i transportu. Wówczas zajdzie potrzeba rewizji de­cyzji produkcyjnych i cenowych. Wzrost kosztów zmiennych oznacza bowiem wzrost kosztu krańcowego, a to - przy nie zmienionych warun­kach rynkowych - skłania do ograniczenia produkcji oraz do podniesienia ceny.

Na przykład, jeżeli na skutek podwyżki płac pracowników montujących komputery albo w wyniku podrożenia elementów składowych komputera krańcowy koszt produkcji wzrośnie z 4 do 4,2 tys. zł, producent powinien zmniejszyć wielkość produkcji do 16 sztuk dziennie, a jednocześnie pod­nieść cenę do 4,6 tys. zł. W tych warunkach bowiem optymalną skalę produkcji określa równanie u' = k':

5 - 0,05Q = 4,2,

którego rozwiązaniem jest Q = 16. Podstawiając to do równania ceny, znajdujemy P = 4,6.

W nowych warunkach dzienny zysk firmy spadnie do 1,4 tys. zł (U = 4,6 X 16 = 73,6, K = 5 + 4,2 X 16 = 72,2, Z = U - K = 1,4). Rzeczą przedsiębiorstwa będzie ocena, czy zadowoli się ono tak nikłym zyskiem, czy też zaniecha produkcji owego modelu komputera i podejmie inną, bardziej rentowną działalność.

Załóżmy teraz, że koszty produkcji nie uległy zmianie, lecz zmieniły się warunki rynkowe. Dzięki wycofaniu się jednego z głównych konkurentów lub w wyniku przeprowadzenia skutecznej akcji reklamowej nasz producent może podnieść cenę o 0,5 tys. zł, utrzymując dotychczasową wielkość sprzedaży. Nowym równaniem ceny będzie:

P = 5,5 - 0,025Q

a nowym równaniem utargu krańcowego:

u' = 5,5 - 0,05Q.

Optymalną wielkość produkcji wyznaczymy (zgodnie z zasadą u' = k') z równania:

5,5-0,05Q =4,

którego rozwiązaniem jest Q = 30. Podstawiając to do równania ceny, znajdujemy P = 4,75. W nowych warunkach należy zatem zwiększyć produ­kcję do 30 sztuk dziennie, zaś cenę podnieść do 4,75 tys. zł.

Skoro w tych korzystnych warunkach rynkowych firma może jednocześ­nie zwiększyć zarówno sprzedawaną ilość, jak i jednostkową cenę, poprawi to radykalnie poziom osiąganego zysku, który wzrośnie do 17,5 tys. zł dziennie {U - 4,75 X 30 = 142,5, K = 5 + 4 X 30 = 125, Z = U - K = 17,5).

Uwagi

W powyższym przykładzie założyliśmy, że koszty całkowite są liniową funkcją rozmiarów produkcji, a koszt krańcowy (jako pochodna tej funkcji) jest wielkością stałą. Wprowadzenie nieliniowej funkcji kosztów, której odpowiednikiem jest np. funkcja kosztu krańcowego w kształcie litery U, nie zmienia istoty rozważanego zagadnienia, komplikując jedynie jego algeb­raiczne rozwiązanie.

W rzeczywistości żaden producent nie dysponuje równaniem opisującym kształtowanie się kosztów w zależności od skali produkcji, gdyż jego określenie wymagałoby trudnych i kosztownych eksperymentów, polegających na mierze­niu poziomu kosztów przy różnych wielkościach produkcji. Znacznie łatwiej jest wyznaczyć na podstawie dotychczasowych rejestrów sprzedaży równanie popytu i równanie ceny (choć nie wolno zapominać o konieczności zachowania warunku ceteris paribus, tzn. przy innych czynnikach niezmiennych).

Co jednak zrobić w przypadku, gdy nie mamy wyznaczonych równań utargów i kosztów? Wówczas — jak już wspomniano - zasadę u' = k' można wykorzystać w iteracyjnym poszukiwaniu optymalnej wielkości produkcji. Dopóki u' > k', opłaca się zwiększać produkcję, ponieważ nadwyżka przy­chodu z dodatkowej jednostki produkcji przewyższa koszty jej wytworzenia, powiększając realizowany zysk. Gdy u' < k', należy zmniejszyć produkcję, gdyż koszt ostatniej jednostki produkcji przekracza osiągany z niej dodat­kowy przychód.

Zatem jeśli nawet przedsiębiorstwo nie potrafi dokładnie wyznaczyć optymalnej wielkości produkcji i optymalnego poziomu ceny, zasada u' = k' pozwala przybliżyć się do optymalnych decyzji.