3. Эффективная добавка отражателя

Уменьшение критического размера реактора из-за наличия отражателя характеризуется эффективной добавкой отражателя:

,

где H₀ - критические размеры (толщина активной зоны) «голого» реактора,

H - размеры реактора с отражателем.

Рассмотрим подкритическую пластинку толщиной H. Если к ней достроить АЗ толщиной δ, то такой реактор может стать критическим. Другой путь: добавить отражатель толщиной T и тоже сделать реактор критическим.

Реактор с отражателем

Н₀

рис. 16.3.1.

Использование эффективной добавки удобно, так как мы знаем, как рассчитывать реактор без отражателя. Эффективная добавка выступает как некоторая поправка к эффективным размерам.

Подставим это в условие критичности реактора с отражателем

- условие критичности.

Рассмотрим случай малой δ, тогда

Из условия критичности

Здесь δ является функцией толщины отражателя T, выраженной в длинах диффузии L_r.

Рассмотрим частные случаи:

1. T << L_r

~T

При равных коэффициентах диффузии имеем  = T, для достаточно тонкого отражателя эффективная добавка  может быть > , чем толщина отражателя T, здесь отражатель может быть более плотной средой

2. T >> L_r

В этом случае эффективная добавка стремится к некоторому пределу, не зависящему от T, и достигающему нескольких длин диффузии.

Если выйти за рамки односкоростной модели, то необходимо заменить во всех выражениях

L_r > M

Такие выражения будут точнее, и ими можно пользоваться практически, при этом они хорошо работают для реакторов любой формы

Временной режим работы реактора без отражателя на тепловых нейтронах

4. Период реактора

Знание этого раздела необходимо для практической работы на реакторе в качестве оператора, т.к. нужно уметь предсказывать поведение нейтронного потока и тепловыделения во времени и в любой точке реактора. Дело в том, что реактор обычно работает на предельных параметрах (температура, распад

и т.п.), и даже небольшие отклонения параметров от номинальных могут привести к серьёзным последствиям. Поэтому необходимо уметь вмешиваться в процессы, происходящие в реакторе.

Мы будем считать, что реактор - единое целое, обладающее коэффициентом размножения. И будем искать зависимость потока во времени, когда K_эфф мало отличается от 1.

Ранее было получено

где

- среднее время жизни нейтрона в конечной среде,

- среднее время жизни нейтронного поколения,

- вероятность избежать утечки.

Время замедления значительно меньше времени диффузии, т. е. экспоненциальный рост нейтронного потока мы получаем и более грубыми методами. Но сейчас мы остановимся на более точном подходе. Это связано с очень важными практическими выводами. Было бы удобно, если бы человек мог реагировать на изменение хода цепной реакции. Введём новую величину: период реактора T - время, в течение которого поток в реакторе изменяется в e раз:

Для мгновенных нейтронов l ~ 10^-3c, а с учетом запаздывания это время может увеличиться на 2 порядка. Из-за сильного влияния exp на поток Ф необходимо учитывать запаздывание нейтронов.

16. Уравнение диффузии с учётом запаздывающих нейтронов

Возвратимся к «голому» реактору на тепловых нейтронах и рассмотрим нестационарную задачу. Найдём распределение нейтронного потока с учётом запаздывающих нейтронов. Рассмотрим процесс запаздывания. Существует 6 групп запаздывающих нейтронов, и каждой группе соответствуют ядра-предшественники – это осколки, которые после -распада могут испустить нейтрон. Каждое из ядер-предшественников имеет некоторое время жизни по отношению к распаду _i. А т.к. дочернее ядро испускает нейтрон почти мгновенно, то время запаздывания примерно равно времени -распада

_i = t_i

Если доля запаздывающих нейтронов i-той группы среди всех запаздывающих нейтронов равна _i , то

Чтобы знать скорость рождения запаздывающих нейтронов, надо следить за плотностью ядер - предшественников. Пусть - число ядер-предшественников i-той группы в единице объёме вблизи точки с координатой в момент времени t. Запишем уравнение баланса для С_i

где _{i = 1/τi}- постоянная -распада, т.е. доля ядер, распадающихся в единицу времени;

_iC_i - скорость -распада;

- общее число быстрых нейтронов ,

- число ядер-предшественников, рождающихся в ед. времени.

Уравнение диффузии тепловых нейтронов

Если учесть запаздывающие нейтроны, то изменится S:

- общее число поглощений в реакторе;

- общее число нейтронов, рождающихся в реакторе;

- число быстрых нейтронов, рождающихся в реакторе;

- число нейтронов, рождающихся в тепловой группе.

Итак, если прибавить источники нейтронов, обусловленные -распадом

(запаздывающие нейтроны), то получим

.

Тогда система уравнений диффузии и баланса

ГУ: 0 <  <  в области определения,

 = 0 на экстраполированной границе.

НУ: при t=0 произошел скачок реактивности, т.е. К = 1+К. Нас интересует реакция системы на такое изменение К.

экстраполированная граница

К_эфф

ΔК

Рис. 14.2.1.

Будем искать решение в виде

Из уравнения баланса



Подставим отсюда (r) в уравнение диффузии:

Здесь от r зависит только первое слагаемое, значит

а это волновое уравнение, и мы знаем его решение. Из этого уравнения можно найти минимальное собственное значение В_r² . Тогда можно записать

Подставим это в уравнение диффузии

Кроме того получим

Эти уравнения образуют систему. Будем искать решение в виде

(r,t)=₀(r)e^t

где ₀(r) - поток в стационарном реакторе до скачка реактивности

С_i(r,t)=C_0i(r)e^t ,

т.е H_i=T(t)=e^t

 - пока ещё не определена. Подстановка такого вида искомых функций действительно покажет, что такой вид удовлетворяет уравнениям и даёт возможность найти .

Второе уравнение получили из уравнения для ядер-предшественников. Подставим в уравнение диффузии.

разделим это уравнение на 1+L²B_r² , получим

Получили алгебраическое уравнение для определения . Корни этого уравнения для  и будут теми значениями, которые будут фигурировать в выражении для распределения нейтронного потока во времени. Перепишем в более удобном виде.

Последние выражение накладывает определенные ограничения на . Введем реактивность , характеризующую отклонение реактора от критического состояния

Подставим это в последнее уравнение

()

 - скачок К_∞, который происходит в начальный момент времени,  - будет определяться скачком К_эфф. Последнее уравнение 6-ой степени относительно  имеет 6 корней. Один корень положительный, остальные 5 – отрицательные. Характер решения легче всего определить из графика зависимости ().

График зависимости ().

Рис. 14.2.2.

По уравнению () можно будет определить К_эфф по известному периоду реактора. Именно этим выражением и воспользуемся. Замерить значение К_эфф очень трудно. Определить период реактора не является сложным, отсюда находят К_эфф. При положительном значении  один из корней будет положительным, остальные 5 – отрицательных. Значения  имеют порядок постоянной распада λ. Отсюда можно записать общее решение системы уравнений в виде суммы 6-ти экспонент:

Если p > 0 имеем один положительный и пять отрицательных корней; при p < 0 все корни отрицательны.

Итак, общее решение

При p > 0 по истечении некоторого времени t в решении остается только одно слагаемое с  > 0

,

т.е.  число экспоненциально зависит от t. В этом случае установившийся период (т. к. он устанавливается по истечении определённого промежутка времени)

.

Время вывода реактора на установившийся режим определяется временем затухания экспонент с  > 0

,

где сек - время запаздывания.

Если подставить ₀ в выражение для , то получим

Последнее равенство позволяет судить о коэффициенте размножения в ядерном реакторе, т.к. он связан с потоком (t), а из этого равенства можно найти T. Если известен T из эксперимента, то можно найти  и, значит, коэффициент размножения. Видно, что влияние l на  при малых значениях  мало и увеличивается с ростом величины . _i и λ_i – характеристики данного горючего; в последнем равенстве λ слабо влияет на .

Характеристика (₀) для U²³⁵

l=10^-5сек

Рис. 14.2.3.

Из графика видно, что при малых реактивностях изменение l на 2 порядка совершенно не сказываются на . При > эта зависимость более или менее проявляется.