Уравнение диффузии
Рассмотрим баланс нейтронов в единице объема dV при заданных Ф(r),s.
Баланс нейтронов
Рис. 9.3.1.
К изменению числа нейтронов приводят поглощение, утечка, рождение. Тогда
рождение
– утечка – поглощение.
Рождение нейтронов обусловлено
источником: S(r)-число нейтронов,
рождающихся в единицу времени в единице
объема вблизи r. Поглощение
нейтронов определяется числом реакций
в единицу времени в единице объема
.
Нужно найти выход реакции в элементе
объёма
.
Найдем утечку нейтронов, зная вектор плотности J из закона Фика
Если известен вектор J в каждой точке поверхности элементарного объема dV, то утечка равна divJ - число нейтронов, пересекающих поверхность единичного объема в единицу времени. Причем
div
D=const=
– DФ
где
Таким образом, имеем уравнение
В стационарном случае
Замечания:
При
выводе данных уравнений пользовались
законом Фика, который справедлив, если
распределение потока по координатам
является линейным на расстоянии в
несколько
.
Значит, эти уравнения плохо работают
вблизи границы источника. Коэффициент
D здесь уже учитывает возможную
несферичность рассеяния(см. ранее).
Граничные условия:
поток Ф нейтронов конечен и неотрицателен в области, где применимо уравнение диффузии;
на границе двух сред, отличающихся хотя бы одной характеристикой взаимодействия нейтронов с ядрами.
Взаимодействие нейтронов с ядрами
Рис. 9.4.1.
В точке а:
- нормаль к поверхности;
- ток нейтронов.
Так как сама граница не поглощает нейтроны, то сколько нейтронов уходит из среды А, столько и приходит в среду В, т.е. проекции на нормаль
т. е. поток на границе неразрывен.
С другой стороны, при переходе
через границу поток нейтронов должен
быть непрерывной функцией координат,
т.е.
Итак, имеем условия на границе
Условия на границе
Рис. 9.4.2.
Условия на границе
Рис. 9.4.3.
на границе среды с вакуумом (это условие необходимо при решении задач о конечном реакторе) нет потока внутрь среды из вакуума. Это условие можно выразить, если задать функцию Ф(r, E,). На границе имеем:
функция Ф(r, E,).
среда
Рис. 9.4.4.
Видно, что это граничное
условие нельзя записать, зная только
зависимость Ф от r. Используем
следующий прием: изобразим Ф(r)
в плоском реакторе. Очевидно, поток на
границе меньше, чем в центре активной
зоны, но не равен 0, т.е.
.
Уравнение наиболее просто решается при
нулевых граничных условиях.
Поток на границе
х
Рис. 9.4.5.
Решение уравнения диффузии особенно просто, когда на какой-либо границе поток равен 0. Будем считать, что поток образуется в 0 не на физической, а на некоторой экстраполированной границе реактора (экстраполяция линейная).
Длина экстраполяции d – величина неопределенная, но вносящая малую поправку в уравнение диффузии. Оценка d была сделана как теоретически, так и экспериментально. Оказалось, что при d = 0,71λtr наблюдается наилучшее совпадение теории с опытом.
Точечный источник в бесконечной среде
Пусть имеется бесконечная, однородная, изотропная среда, в которой находится точечный изотропный источник. Очевидно, такая задача имеет сферическую симметрию.
Сферическая симметрия
Рис. 10.1.1.
Начало сферической системы координат совместим с точкой, где находится источник. Тогда поток Ф не будет зависеть от углов θ и φ. В связи с этим лапласиан можно записать в следующем виде
.
Уравнение диффузии имеет вид
.
Если рассматривать точки r ≠ 0, то источник можно опустить (S = 0), так как он находится только в точке r = 0. Тогда имеем
,
где
характеризует интенсивность спада
потока Ф в зависимости от расстояния
r. Граничным условие
является то, что поток во всех точках
должен быть конечным и неотрицательным,
кроме точки с источником.
Если рассмотрим сферу с источником в центре, то количество нейтронов, проходящих через эту сферу, будет стремиться к мощности источника при стремлении радиуса сферы к нулю, то есть
.
Решение этого уравнения будем искать в виде
.
Тогда для U получим уравнение
,
решением которого будет следующая запись
.
С учётом этого можно записать решение уравнения для потока Ф от расстояния r
.
Из условия конечности потока Ф при r → ∞ получаем, что постоянная C = 0. Найдем вторую постоянную A.
A=Q/4D
Итак
здесь Ф(r)-поток для точечного источника.
Зависимость Ф(r) для
Рис. 10.1.2.
Пусть Q=1, среда – Н2О.
χ – характерная величина, на которой поток спадает в е раз (без учёта знаменателя).