5. Логарифмический декремент энергии

Удобной величиной является среднее уменьшение натурального логарифма кинетической энергии нейтрона при одном столкновении. Эта величина не зависит от энергий нейтрона. Если усреднить ее по J, то получим универсальную характеристику столкновения нейтрона с ядром данного типа. Такая величина называется средним логарифмическим декрементом энергии при одном столкновении:

Итак

При A>>1, , тогда . Если A=1 (водород), тогда x=1.

Т.к. x не зависит от Е нейтрона, при которой произошло столкновение, то можно сосчитать среднее число столкновений нейтронов при замедлении от одной энергии до другой. В частности, для замедления от энергии рождения до тепловой энергии, число столкновений:

и для А=1 (на ядрах водорода) ξ=1  в воде в среднем для замедления нейтрона требуется 18 столкновений.

Очевидно, для максимального эффекта замедления необходимо x как можно большее (А мало) и большее сечение рассеяния. Вводят величину xS_s - замедляющая способность замедлителя.

С другой стороны, замедлитель должен иметь малое сечение поглощения, поэтому вводят - коэффициент замедления (максимален для тяжелой воды, т. е. это – лучший замедлитель).

Потеря энергии пропорциональна энергии нейтрона при столкновении. Отношение энергий до и после столкновений не будет зависеть от энергии, при которой нейтрон сталкивается. Поэтому ввели средний логарифмический декремент энергии . Этим фактом мы обязаны летаргии.

6. Летаргия

Летаргией называется энергетический масштаб, обладающий тем свойством, что средние энергетические потери на одно столкновение постоянны. Его введение связано также с независимостью E₂/E₁ от энергий. Обозначается летаргия:

где E₀ – энергия рождения нейтрона (2МэВ), E – текущая энергия.

Средние энергетические потери

,

т.е. среднее изменение летаргии на одно столкновение есть средний логарифмический декремент энергии.

Число столкновений, необходимое для увеличения летаргии на величину DU равно

Рассмотрим зависимость E(U)=E₀e^-u. При одном столкновений среднее изменение летаргии DU=x.

Зависимость E(U)=E₀e^-u

Рис.7.1.

Видно, что DE сильно зависит от участка энергий, на котором происходит столкновение, т. е. не является константой.

7. Энергетический спектр замедляемых нейтронов

Нахождение спектра нейтронов – наша основная задача. Основные предположения:

1) среда бесконечна и однородна; нет зависимости от координат и направления полёта;

2) замедление идет только за счет упругих столкновений;

3) источники нейтронов моноэнергетические с энергией 2МэВ, они равномерно распределены по пространству.

В этих предположениях спектр, который мы найдем, будет близок к спектру в тепловых реакторах.

1. Замедление в водороде без поглощения

Замедление на водороде рассматривается в связи с особой простотой его спектра, т.к. нейтрон может замедляться вплоть до нулевой энергии.

Замедление нейтрона на водороде до нулевой энергии

Рис.8.1.1.

Зададим:

S_s(E) -сечение рассеяния,

S_a=0 – сечение поглощения,

Q, H/см³ с – мощность источников (постоянна).

Подразумевается, что в тепловой области S_a¹0, и нейтроны поглощаются, не накапливаясь в среде, так, что устанавливается стационарный режим.

Поток нейтронов

F(E) = n(E)×V

F(E) – плотность столкновений, т.е. число взаимодействий с ядрами в единице объема за единицу времени, приходящихся на единичный интервал энергий.

Тогда

Чтобы найти F(E), воспользуемся уравнением баланса. Рассмотрим энергетический интервал dE. Число взаимодействий в нем должно быть постоянно во времени, т.е. число нейтронов, приходящих в dE за счет рассеяния из области высоких энергий, равно числу нейтронов, уходящих из этого интервала.

Энергетическая схема замедления

Рис.8.1.2.

Найдем число нейтронов, приходящих в единицу времени из dE^' в dE:

^F(E')dE^' – число столкновений в dE^'

Для водорода вероятность нейтронов с энергией Е^' перейти в интервал dE вблизи Е равна , т.к. , для А=1

Тогда – нейтронов, переходящих в единицу времени из dE' в dE после рассеяния. Общее число нейтронов, переходящих из всех интервалов выше Е в интервал dE равно с учетом нейтронных источников:

Мы считаем источник нейтронов моноэнергетическим. Поэтому значению Е₀ соответствует конечное число нейтронов, в то время как для других фиксированных энергий соответствующее число нейтронов равно 0. Рождается Q нейтронов, часть которых после первого столкновения может попасть в dE. Мы везде берем для вероятности отклонения , т.к. вероятность перехода не зависит от энергии.

Итак, приравниваем число приходящих в dE нейтронов к числу уходящих нейтронов.

Решим это уравнение

Þ

Для Е=E₀ (из интегрального уравнения), следовательно, А=Q. Значит

Это спектр Ферми для нейтронов. Эта зависимость F(Е) выполняется не точно, но реальные спектры близки к спектру Ферми.

В случае замены переменной Е на летаргию U

Это уравнение отражает тот факт, что сумма путей, проходимых нейтронами в интервалах dU и dE, равны.

,

значит F(U)=Q.

Таким образом, переход к летаргии U значительно упрощает выражения для спектра нейтронов.