Решение:

,

.

Площадь полной поверхности этой фигуры:

,

Ответ: , =

Задание 9. Найти объем и площадь полной поверхности фигуры, изображенной на рисунке :

Решение:

4

Объём многогранника равен сумме объёмов двух прямоугольных параллелепипедов: ,

;

, Тогда вычисляем

Площадь поверхности фигуры равна сумме площадей поверхности большого параллелепипеда и площади боковой поверхности маленького параллелепипеда:

Ответ: , 438

Задание №10. Найти площадь диагонального сечения правильной четырёхугольной призмы, высота которой равна 4 см., а длина стороны основания равна 10 см.

Дано:

Найти:

Решение:

1) Призма правильная, поэтому она прямая, то есть её боковое ребро является высотой:

и в основании призмы лежит квадрат диагональ которого :

2) Диагональным сечением призмы является прямоугольник площади диагонального сечения.

,

Ответ:

Задача № 11. Прямоугольный треугольник АВС вращается вокруг гипотенузы АВ. Найти объём тела вращения и площадь поверхности тела вращения, если известно угол , а противолежащий катет

Дано: , , , - катет треугольника;

Найти: 1) V т.вр.; 2) S т.вр.

Решение:

1) Фигурой вращения является тело, состоящее из двух конусов с общим основанием.

Образующие конусов: L₁ = AC = b; L₂ = BC = a = 14 см.

Высоты конусов: Н₁ = АО; Н₂ = ВО

Радиус основания конусов: R = CO, где CO⊥AB.

2) Решим прямоугольный треугольник АВС: ;

;

. Итак,

4) Объём тела вращения равен сумме объёмов двух конусов:

,

учли, что -гипотенуза треугольника АВС.

5) Площадь поверхности тела вращения равна сумме площадей боковой поверхности двух конусов:

Ответ:

Пирамида

Определение: Пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит произвольный многоугольник, а остальные грани являются треугольниками с общей вершиной.

Определение: Высотой пирамиды называется отрезок перпендикуляра, опущенного из вершины пирамиды на плоскость основания пирамиды:

H = SO

Определение: Диагональная плоскость, это плоскость, проходящая через вершину пирамиды и диагональ основания.

Определение: Диагональное сечение пирамиды- это сечение, которое получается при пересечении пирамиды диагональной плоскостью. (В любой пирамиде, кроме треугольной, диагональное сечение, это треугольник).

Виды пирамид:

I. Треугольная, 4-х, 5-и, 6-и угольная и так далее, в зависимости от многоугольника, лежащего в основании пирамиды.

II. Правильная и неправильная пирамида.

Определение: Пирамида называется правильной, если 1) в основании её лежит правильный многоугольник, 2) вершина пирамиды проектируется в центре основания.

Определение: Апофема- это высота боковой грани правильной пирамиды, проведённая из её вершины на сторону основания пирамиды.

Правильная треугольная пирамида

Точка О делит каждую медиану в отношении 2:1, откуда следует

.

В любой правильной пирамиде, все боковые грани являются равными равнобедренными треугольниками. (В частности, иногда равносторонними).

Поэтому апофема является не только высотой, но и медианой боковой грани.

Правильная четырёхугольная пирамида

Теорема о площади боковой поверхности правильной пирамиды:

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра её основания на апофему пирамиды:

.

Площадь полной поверхности пирамиды равна сумме площадей её боковой поверхности и площади основания:

Объём пирамиды

Объём пирамиды равен произведения высоты пирамиды на площадь основания

Задача.

Дано: ;

Найти:

1)

2)

3)

Решение:

1) Так как пирамида правильная, то - ABCD квадрат, его центр точка О - точка пересечения диагоналей и вершина S проектируется в точку О.

2) Между апофемой и плоскостью основания это угол между апофемой и его проекцией на плоскость основания.

3) Решим прямоугольный треугольник SOF:

4)

5) Сторона основания:

6)

;

Ответ: =

Теорема о свойстве параллельных сечений в пирамиде:

Если пирамиду пересечь плоскостью параллельной основанию, то:

1) Боковые рёбра и высота разделяются на пропорциональные части;

2) В сечении пирамиды получается многоугольник, подобный основанию пирамиды;

3) Площади сечения и основания относятся как квадраты их расстояний от вершины.

Задача .

Дано: SABCD- пирамида, SO'=15 см, H=SO=60 см, S осн.= 600см²

Найти: S сеч. - ?

Решение:

По теме о свойстве параллельных сечений пирамиды:

, , , отсюда находим

Усечённая пирамида

Определение: Усечённой пирамидой называется геометрическая фигура, которая получается из пирамиды, если её пересечь плоскостью параллельно основанию и отбросить верхнюю часть.

Виды усечённых пирамид:

1) 3-х, 4-х, 5-и, 6-и и так далее, в зависимости от многоугольников, лежащих в её основании.

2) Правильная и неправильная усечённые пирамиды.

Теорема о площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды:

Площади боковой поверхности правильной усечённой пирамиды равна половине произведения суммы периметров её оснований на апофему усечённой пирамиды.

Р осн.₁=3а_1; - периметр и площадь верхнего основания;

Р осн.=3а ; -периметр и площадь нижнего основания.