Решение:

1. Составим уравнение стороны ВС, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где В(1;-3), С(-4;2). Тогда

5(x-1)=-5(y+3),

5x-5=-5y+15,

5x-5+5y+15=0 :/5,

x+y+2=0 – общее уравнение стороны ВС.

2)Найдем координаты точки F- середины отрезка ВС по формуле середина отрезка:

где В(1;-3), С(-4;2).

, F(-1,5;-0,5).

Составим уравнение медианы AF, применим уравнение прямой проходящей через две заданные точки:

, где A(6;5), F(-1,5;-0,5). Тогда

,

,

-5,5⋅(x-6)=-7,5(y-5),

-5,5x+33=-7,5y+37,5,

-5,5x+33+7,5y-37,5=0,

-5,5x+7,5y-4,5=0⋅/-2

11x-15y+9=0-общее уравнение медианы AF

3) Составим уравнение высоты СЕ треугольника, применим уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальном вектором:

А⋅(x-x₀)+B⋅(y-y₀)=0, где заданной точкой является точка С(-4;2).

Нормальным вектором для высоты СЕ является вектор .

Найдем его координаты:

= =

= =(1-6;-3-5)

= (-5;-8), значит A= -5; В= -8. Тогда получим

-5⋅(x-(-4))+(-8)⋅(y-2)=0,

-5⋅(х+4)-8⋅(у-2)=0,

-5x -20-8y+16=0,

-5x-8y-4=0⋅/-1

5x+8y+4=0 – общее уравнение высоты СЕ.

4) Чтобы найти угол между медианой AF и СЕ, нужно сначала перевести их уравнения из общего уравнения прямой в уравнение прямой с угловым коэффициентом k:

AF: 11x – 15y + 9 =0, отсюда:

-15y=-11x-9 :/-15

у = ,

у = , k₁ = - угловой коэффициент медианы AF.

Для СЕ:

5x +8y+4=0, отсюда

8y=-5x-4 :/8

y= , k₂= - угловой коэффициент высоты CE.

Находим угол по формуле:

k₁= , k₂=

Ответ: 1) х+у+2=0; 2) 11х-15у+9=0; 3) 5х+8у+4=0; 4) .

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №8 по теме

«Прямая и плоскость в пространстве»

Задача №1. Из точки M проведена к плоскости α наклонная MF длинной 14 см. Угол между наклонной и плоскостью равен 60°, найти расстояние от точки M до плоскости α.

Дано: М∉α, MF- наклонная, MF = 14 см;

MN⊥α, FN- проекция наклонной;

,

Найти:

Решение:

1) По определенным перпендикулярности прямой и плоскости:

2) По определению перпендикулярности прямой и плоскости: ,

так как и . Значит, треугольник MNF - прямоугольный.

3) Решим прямоугольный ,

.

Ответ: .

Задача №2. Из вершины А прямоугольника ABCD восстановлен перпендикуляр AN к плоскости прямоугольника. Найти расстояние от точки N до плоскости прямоугольника, если известны расстояния от этой точки до трёх вершин прямоугольника: .

Дано: ABCD- прямоугольник,

AN- перпендикуляр к плоскости (ABC),

, ,

Найти:

Решение:

1) По определению расстояния от точки до плоскости: , тогда

.

2) По теореме о трёх перпендикулярах: , так как

NB- наклонная к плоскости (ABC), AB- её проекция на плоскость (ABC),

и (так как ABCD- прямоугольник).

3) По теореме Пифагора в треугольнике NBC:

, тогда , отсюда находим

, , , .

4) По определению перпендикулярности прямой и плоскости:

Значит, треугольник

NAD -прямоугольный, по теореме Пифагора: ,

, , , ,

.

Ответ: .

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №9 по теме

«Дифференцирование функций»

Теория

Формулы дифференцирования:

1) производная постоянной:

2) производная аргумента:

3) производная суммы функций:

4) производная произведения двух функций:

5) производная частного двух функций:

Определение: Сложной функцией называется функция, аргументом которой является другая функция.

Сложная функция это функция от функции.

Правило дифференцирования сложной функции: разбить функцию на простые функции, найти производные от всех простых функций и эти производные перемножить.

Пример 1. Найти производную функции

Решение:

.

Пример 2. Найти производную функции

Решение:

Пример 3. Найти производную функции .

Решение:

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №10 по теме

«Неопределенный и определенный интегралы»

Теория

Определение. Первообразной функцией для функции называется такая функция , производная от которой равна : F'(x) = f(x).

Определение. Неопределённый интеграл это совокупность всех первообразных функций для дифференциала :

+c

Основные свойства неопределенного интеграла:

1. Дифференциал неопределённого интеграла равен подынтегральному выражению: d f(x)dx = f(x)dx.

2. Неопределённый интеграл от дифференциала функции равен самой этой функции, сложенной с произвольной постоянной: dF(x) = F(x)+C.

3. Неопределённый интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме неопределённых интегралов от каждой функции:

( x)+ (x))dx = (x)dx+ (x)dx.

4. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределённого интеграла (как множитель): kf(x)dx = k f(x)dx, где k-постоянный множитель.

Таблица основных формул интегрирования

1. ; 2. n 9.

3. , 4. , 10.

5.  , 6. ,

7. , 8. ,