Решение

Данный многогранник представляет из себя четырёхугольную пирамиду, в основании которой лежит квадрат со стороной 6, из которой вырезана пирамида, в основании которой находится квадрат со стороной 3, а вершина совпадает с вершиной первой пирамиды. Высотой обеих пирамид является боковое ребро первой пирамиды, по условию, перпендикулярное плоскости основания пирамиды и равное 3. Объём пирамиды находится по формуле

, тогда получаем:

.

Ответ: 27

Задание 3. Радиусы двух шаров равны 6 и 8 см. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров.

Решение

Площадь поверхности данных шаров равна

,

Радиус шара, площадь которого равна сумме площадей поверхностей данных шаров: , отсюда находим

, R= =10 (см).

Ответ: 10 см

Задание 4. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то площадь его поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба и его объём (Рис.1)

Рис.1 Рис.2

Решение

Обозначим ребро куба х (Рис.2). Шесть равных граней куба являются квадратами, поэтому площадь поверхности куба . Если ребро куба увеличить на 1, то оно станет равно , а площадь поверхности- . Учитывая, что площадь поверхности куба при этом увеличивается на 30, получаем уравнение

, решая его находим х=2.

Ответ: 2

Задание 5. В цилиндрический сосуд. в котором находится 6 воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза.

Чему равен объём детали?

Решение

Так как уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,5 раза, то и объём увеличился в 1,5 раза ( ), т.е. стал равен Следовательно, объём детали равен

Ответ:

З адание 6. Найти объем фигуры:

Решение:

Данный многогранник представляет из себя параллелепипед с объемом V₁, из которого удален меньший параллелепипед с объемом V₂.

, .

;

, ,

тогда вычисляем

Ответ:

Задание 7. В прямоугольный параллелепипед вписан цилиндр, радиус основания и высота которого равны 5,5 см. Найти объем параллелепипеда и объем цилиндра.

Решение:

Т.к. в прямоугольный параллелепипед вписан цилиндр, то основанием параллелепипеда является квадрат.

R

O

B

C

D

A

a

a

Решение:

1. , .

2. Высота параллелепипеда равна высоте вписанного в него цилиндра:

3. Объем прямоугольного параллелепипеда: , отсюда

.

4. Объем цилиндра: , где ,

, тогда вычисляем

Задание 8. Из параллелепипеда (см. условие предыдущей задачи) был удален цилиндр, найти объем получившейся фигуры и площадь её полной поверхности.