2) Решить уравнение: Решение:

, тогда получим

,

.

Однородные тригонометрические уравнения

Определение: Однородным тригонометрическим уровнением называется уравнение, в котором каждое слагаемое имеет одинаковую степень относительно функций sin𝛼 и cos𝛼.

Метод решения однородного тригонометрического уровнения:

Разделить обе части уравнения на cosⁿ x или sinⁿx, где n-степень (порядок) этого уравнения.

Тогда это уравнение сведется к уравнению относительно tg x или ctg x, и можно применить метод замены переменной.

1) Решить уравнение:

Решение:

Это однородное тригонометрическое уравнение I степени, разделим обе части уравнения на :

отсюда

получили простейшее тригонометрическое уравнение

2) Решить уравнение:

Решение:

Однородное тригонометрическое уравнение II степени, разделить обе части уравнения на cos²x:

,

,

Метод разложения на множители левой части уравнения на множители

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

Примечание: часто разложить на множители удается, если применить формулы преобразования суммы или разности одноименных тригонометрических функций в произведение:

1. Решить уравнение:

Решение:

Применим формулу:

,

получим , отсюда

2. Решить уравнение:

Решение:

Применим формулу: ,

, тогда

, то есть корни содержатся среди корней .

Заметим, что

Методические указания и примеры типового расчёта

практической работы №7 по теме

«Векторы и координаты. Прямая и её уравнение на плоскости»

Теория

1. Длина стороны треугольника и длина медианы могут быть найдены по формуле расстояние между двумя точками:

Где А и В - координаты двух заданных точек.

2. Координаты вектора = (

3. Длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

, где .

4. Центром тяжести треугольника является точка пересечения его медиан. Точка пересечения медиан любого треугольника делит каждую медиану в отношении 2:1.

Тогда из формул «деление отрезка в данном отношении»:

, где

При = 2 получим формулы для определения координат точки пересечения медиан треугольника:

5. Площадь треугольника находится по формуле:

Косинус угла при вершине треугольника можно найти исходя из определения скалярного произведения двух векторов:

, откуда

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений их одноименных координат:

, где , - координаты векторов.

Из основного тригонометрического тождества

следует, что

6. Для составления уравнений сторон и медиан треугольника нужно применить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :

, а затем, преобразовав это уравнение,

получить общее уравнение прямой

Координаты середины отрезка находят по формулам (при :

7. Для составления высоты нужно применить уравнение прямой, проходящей через заданную точку с заданным нормальным вектором :

8. Для нахождения длины высоты можно применить формулу: расстояние от точки до прямой:

, где - координаты точки;

- общее уравнение прямой.

Пример 1: Дан c вершинами , , .

Найти: 1) Длины сторон треугольника; 2) Длины его медиан; 3) Координаты центра тяжести; 4) Площадь треугольника; 5) Угол при вершине ; 6) Составить уравнения сторон треугольника; 7) составить уравнения медиан треугольника; 8) составить уравнение высоты , опущенной из вершины треугольника; 9) найти длину высоты . Сделать чертёж.