Питання для самоконтролю

1. Метод Гаусса* розв’язування систем лінійних рівнянь (інформативно)

2. Метод Жордана –Гаусса.

3. Загальний розв’язок систем лінійних рівнянь.

4. Частинний розв’язок систем лінійних рівнянь.

Л Е К Ц І Я 8

Тема: Поняття вектора. Дії з векторами

Мета: сформувати поняття вектора, ознайомити з лінійними діями з векторами, з скалярним добутком та його властивостями, довжиною вектора, кутом між векторами, проекцією, розкладом вектора за базисом.

Література: 1, с. 32-39; 6, с. 102-107].

П Л А Н

1. Лінійні дії з векторами.

2. Скалярний добуток та його властивості.

3. Довжина вектора, кут між векторами, проекції.

4. Розклад вектора за базисом.

Скалярні величини характеризуються своїм числовим значенням (об’єм, маса, температура…). Векторні* –крім числового значення мають ще й напрям (сила, швидкість…).

*лат. Vector (переносник) ввів у 1848 р. Гамільтон

Геометрично векторна величина зображається напрямленим відрізком:

А В

Модуль вектора (його довжина) позначається .

До лінійних дій з векторами належать додавання і віднімання векторів, множення вектора на число.

1) Додавання.

а) правило трикутника

б) правило паралелограма

2 ) Віднімання

3) Множення вектора на число (скаляр)

Нульовим називається вектор, початок якого збігається з кінцем ( ). Напрям його невизначений, а довжина дорівнює 0.

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці.

Одиничний вектор, напрям якого збігається з напрямом вектора називається ортом вектора і позначається

орт

2. та -одиничні вектори на осях х та у в координатній площині.

у

В

_у

С

0 х

_х

_х – проекція на О_х

_у – проекція на О_у

З

Напрям такий же, як і у орта , - у орта ; довжини:

- розклад вектора за ортонормованим Базисом на площині

-координати вектора

- ортонормований базис на площині.

Записують так:

В просторі ортонормований базис утворюють вектори

z

0 y

x

Якщо задано вектор , де А (x₁; y₁; z₁) –початок вектора , В (x₂; y₂; z₂) – кінець, то (х₂-х₁; у₂-у₁; z₂-z₁).

Дії з векторами в координатній формі.

1) , якщо

2)

3)

Колінеарними називають вектори, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

- умова колінеарності векторів, тобто якщо вектори колінеарні, то один з них можна виразити через другий.

Якщо вектори задані в координатній формі, то відповідні координати їх пропорційні:

Приклад: Чи колінеарні вектори

(-2; 1; -3) і (4; -2; -3) ?

Вектори не колінеарні

Три вектори називаються компланарними, якщо вони лежать в одній площині, або в паралельних площинах.

3. Скалярним добутком двох векторів називається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними

^

-число!

Властивості:

1)

2)

3)

4)

^

5) ( ) , звідки

Скалярний добуток двох векторів, заданих координатами в прямокутній системі координат, дорівнює сумі добутків їхніх відповідних координат:

4. Довжина вектора в координатній формі:

Кут між векторами:

^

^

Напрямні косинуси вектора:

у

Напрямними косинусами вектора

називаються косинуси кутів, які

0 х вектор утворює з осями координат

О_х, О_у, О_z відповідно.

Тоді

(сума квадратів напрямних косинусів довільного вектора дорівнює 1).

Приклади:

1) При якому значенні у вектори будуть перпендикулярними?

(5; -4; 8)

(2; у-1; 4)

10-4 х (у-1)+32=46-4у

46-4у=0, у=

2) вектори і колінеарні, знайти х і z:

(х; 3; -2)

(2; 6; -z)