Алгоритми перевірки на абсолютну збіжність.

1) Утворюється ряд з модулів членів даного ряду.

2) Якщо цей ряд збіжний, то значить ряд збігається абсолютно.

3) Якщо цей ряд розбіжний, то даний ряд перевіряють на збіжність за ознакою Лейбніца. Якщо даний ряд збіжний, то він збігається умовно.

Приклад: Абсолютно чи умовно збігається ряд:

- ряд Діріхле (збіжний)

Отже, обидва ряди поводять себе однаково, значить даний ряд збігається абсолютно.

Ряди, знаки членів яких строго чергуються, застосовують для наближених обчислень значень функцій.

Завдання додому

1. Конспект; [1] с. 498 – 510

Питання для самоконтролю

1. Ряди. Основні значення.

2. Збіжність рядів, властивості збіжних рядів.

3. Необхідна умова збіжності

Л Е К Ц І Я 33

Тема: Степеневі ряди

Мета: ознайомити з теоремою Абеля, радіусом збіжності ряду. рядами Тейлора та Маклорена, розкладанням елементарних функцій в ряд Маклорена

Література: 1, с. 512-527; 6, с. 492-504].

П Л А Н

1. Теорема Абеля. Радіус збіжності ряду.

2. Ряди Тейлора та Маклорена.

3. Розвинення елементарних функцій у степеневий ряд.

1. Означення. Ряд виду , в якому члени є функціями від , називається функціональним рядом.

Закон зміни членів такого ряду заданий формулою n – го . Якщо замість х підставити значення х₀ , де х = х₀ – довільне число, то одержимо числовий ряд. Якщо цей ряд є збіжним, то точка х₀ називається точкою збіжності функціонального ряду.

Множина всіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.

Частинною сумою функціонального ряду називається сума .

Якщо існує границя , то називають сумою ряду.

n – м залишком ряду називають різницю :

=

Означення. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

,

де - вільний член ряду; - коефіцієнти ряду.

Теорема Абеля.

Якщо степеневий ряд збіжний при , то він абсолютно збіжний для всіх значень х, що задовольняють нерівність , тобто збіжний на інтервалі . Такий інтервал називається інтервалом збіжності ряду, а число називається радіусом збіжності степеневого ряду.

розб збіг розб

0 х

Інтервал збіжності можна записати у вигляді (- R; R)

Метод знаходження інтервала збіжності степеневого ряду

Нехай дано степеневий ряд . Для знаходження інтервала збіжності застосовують ознаку Д’Аламбера.

Для того, щоб ряд був збіжним, потрібно, щоб одержаний вираз був меншим 1, тобто

- інтервал збіжності ряду

Для знаходження області збіжності потрібно дослідити поведінку ряду на кінцях інтервалу. Для цього замість х в степеневий ряд підставляють значення і і досліджують одержані числові ряди на збіжність.

Приклад: знайти область збіжності степеневого ряду

- інтервал збіжності

R = 3

Перевіримо поведінку ряду на кінцях інтервалу:

а) при х = 3 не виконується необхідна ознака збіжності, тобто 1=1 , отже ряд розбіжний.

Значить правий кінець інтервалу не входить в область збіжності.

б ) при х = - 3

одержали ряд, знаки якого строго чергуються; застосуємо ознаку Лейбніца:

1 = 1=1 = ... – модулі членів ряду не спадають, значить ряд розбіжний.

Тобто, лівий кінець інтервалу не входить в область збіжності.

Відповідь: областю збіжності степеневого ряду є інтервал ( - 3; 3)

розб збіг розб

- 3 0 3 х

2. Розглянемо степеневий ряд за степенями :

Нехай функція f (x) є сумою ряду на інтервалі :

Нехай існують всі похідні функції f (x) і значення самої функції в точці . Знайдемо коефіцієнти цього ряду, послідовно диференцюючи ряд і підставляючи в знайдені похідні значення .

Знайдемо

...

Тоді

Степеневий ряд прийме вигляд:

0, 1, 2, ... – ряд Тейлора.