Література: 1, с. 498-505; 6, с. 476-480].

П Л А Н

1. Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами (ознаки порівняння,

ознака Д’Аламбера, ознаки Коші).

2. Ознака Лейбніца.

3. Абсолютна та умовна збіжність. Теорема Коші.

1. Ознака Д’Аламбера.

Якщо для ряду з додатними членами u₁+ u₂+ … + u_n +… існує границя

, то:

1) ряд збіжний при l < 1

2) ряд збіжний при l > 1

Якщо l = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним. Треба дослідити ряд за допомогою інших ознак.

Ознака Д’Аламбера застосовується до тих рядів, загальний член яких містить показникову функцію , або факторіали чисел, які залежать від n, або нескінченні добутки.

Приклад: Дослідити ряд на збіжність

, отже ряд збіжний

Зауваження: n = 1, 2, 3, 4, ...;

2n, 2n+2, 2n – 2 – запис парного числа;

2n – 1, 2n+1 – запис непарного числа;

n! = , 0!=1

Ознаки порівняння

1) Нехай задано два ряди з невід’ємними членами

, (1)

, (2)

і для всіх n виконується нерівність

Тоді, якщо ряд (2) збіжний, то збіжний і ряд (1).Тобто, якщо збіжний ряд з більшими членами, то збіжний і ряд з меншими членами.

Якщо ж ряд (1) розбіжний, то розбіжний і ряд (2). Тобто, якщо розбіжний ряд з меншими членами, то розбіжний і ряд з більшими членами.

2) Гранична ознака порівняння.

Якщо задано два ряди з додатними членами

причому існує скінченна, відмінна від нуля границя відношення загальних членів двох рядів

, то ряди або одночасно збіжні, або одночасно розбіжні.

Для порівняння часто користуються рядами:

1)

геометрична прогресія

2)

- стале число

ряд Діріхле або узагальнений гармонічний ряд

3) - розбіжний гармонічний ряд

Приклад: Дослідити ряди на збіжність:

а)

- гармонічний ряд, розбіжний

За першою ознакою порівняння даний ряд розбіжний, так як його члени більші відповідних членів гармонічного ряду, який є розбіжним.

б)

- загальний член ряду Діріхле (збіжного)

Отже, обидва ряди ведуть себе однаково, тобто даний ряд збіжний.

Ознаки Коші

1) Радикальна ознака Коші.

Якщо для ряду з додатними членами

існує границя , то цей ряд збіжний при < 1 і розбіжний при > 1.

Якщо = 1, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

Застосовується тоді, коли можна добути корінь степеня n з u_n

Приклад:

;

отже ряд збіжний

2) Інтегральна ознака Коші.

Нехай задано ряд

, члени якого є значеннями неперервної, додатної і монотонно спадної функції f (x) на проміжку [1; + ).

Тоді даний ряд збіжний, якщо збіжний невласний інтеграл , і розбіжний, якщо цей інтеграл розбіжний.

Приклад:

- розбіжний.

Інтегральна ознака Коші застосовується в тому випадку, коли можна знайти інтеграл від загального члена ряду.

2, 3. Розглянемо ряд, знаки членів якого строго чергуються, тобто ряд, довільні два сусідні члени якого мають різні знаки:

(3)

Ознака Лейбніца

Якщо члени ряду (3) спадають по модулю і загальний член ряду при прямує до 0, то ряд (3) збіжний. Якщо ж не виконується хоча б одна з цих умов, то ряд розбіжний.

Приклад: За ознакою Лейбніца перевірити збіжність даного ряду:

1) порівняємо члени ряду по модулю:

> ... – спадають

2) знайдемо

Отже, ряд збіжний.

Ряд називається знакозмінним, якщо серед його членів є як від’ємні, так і додатні.

Нехай дано ряд, знаки членів якого строго чергуються:

Якщо цей ряд збігається за ознакою Лейбніца і збігається ряд, утворений з модулів його членів, тобто ряд

то ряд називається абсолютно збіжним.

Якщо ж цей ряд збігається за ознакою Лейбніца , а ряд, утворений з модулів його членів, розбіжний, то ряд називається умовно збіжним.

Абсолютно збіжні ряди мають ряд важливих властивостей, наприклад, переставну властивість: будь-який ряд утворений за допомогою перестановки членів абсолютно збіжного ряду також абсолютно збіжний і має ту саму суму, що й заданий ряд. Умовно збіжні ряди переставної властивості не мають, тому що від перестановки їхніх членів може змінтися сума ряду і навіть утворитися розбіжний ряд.