Формула для загального рівняння:

, тобто загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння 1-го порядку являє собою суму двох доданків: перший – загальний розв’язок відповідного однорідного різницевого рівняння, другий – частинний розв’язок неоднорідного рівняння.

Частинний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння знаходимо із загального розв’язку, використовуючи початкові умови.

Приклад: Розв’язати різницеве рівняння ,

Використовуємо формулу

- загальний розв’язок неоднорідного різницевого рівняння.

Знайдемо С, використовуючи початкові умови:

при n = 1, y₁ = 5

2C = 8

C = 4

або

2. У фінансових розрахунках часто використовують різницеві рівняння замість геометричної прогресії.

Завдання додому

Конспект; [4] с. 66 – 71

Питання для самоконтролю

1. Однорідні лінійні різницеві рівняння.

2. Неоднорідні лінійні різницеві рівняння.

Л Е К Ц І Я 31

Тема: Числові ряди. Основні поняття.

Мета: сформувати поняття числового ряду; ознайомити із збіжними і розбіжними рядами, властивостями збіжних рядів, необхідною умовою збіжності ряду

Література: 1, с. 493-497; 6, с. 464-473].

П Л А Н

1. Ряди. Основні значення.

2. Збіжність рядів, властивості збіжних рядів.

3. Необхідна умова збіжності

1. Нехай задано послідовність дійсних чисел u₁, u₂, u₃, …u_n,…

Рядом називається вираз u₁+ u₂+ … +u_n +… , де u₁, u₂, u₃ - члени ряду,

u_n – загальний член ряду.

Ряд вважається заданим, якщо його загальний член u_n заданий формулою,

Приклад 1:

Запишемо ряд:

Приклад 2: Записати формулу загального члена ряду

2. Нехай задано числовий ряд

u₁+ u₂+ u₃ +… + u_n +…

Складемо частинні суми ряду:

...

...

Одержимо послідовність частинних сум

Якщо існує границя послідовності частинних сум ряду (дорівнює якомусь значенню S), то такий ряд називається збіжним:

- ряд збіжний,

S – сума ряду.

Якщо границя послідовності частинних сум ряду не існує, то ряд називається розбіжним.

Властивості збіжних рядів

1) Якщо S_n = S, то S – сума ряду.

2) Якщо ряд u₁+ u₂+ u₃ +… + u_n +… збіжний, то збіжний і ряд

, де - число, причому сума такого ряду дорівнює

3) Нехай два ряди u₁+ u₂+ … + u_n +…

v₁+ v₂+ … + v_n +… збіжні, тоді збіжний і ряд , а сума його дорівнює .

Зауваження: скорочений запис ряду

= u₁+ u₂+ … + u_n +…

Приклад: Знайти суму ряду

Знайдемо частинну суму S_n :

Знайдемо суму ряду:

S = S_n =

0

3. Необхідна умова збіжності ряду:

Якщо ряд збіжний, то

Достатня умова розбіжності ряду:

Якщо , то ряд розбіжний.

Приклад: Використовуючи необхідну умову збіжності, перевірити поведінку рядів:

1) 2) 3)

0

1 ) = =0,

0

отже ряд може бути збіжним або розбіжним.

2) = - ряд розбіжний

3) = - ряд розбіжний

Завдання додому

Конспект; [1] с. 493 – 498,

[2] с. 356 – 362.

Л Е К Ц І Я 32

Тема: Ознаки збіжності рядів.

Мета: ознайомити з достатніми ознаками збіжності рядів з додатними членами ознаки порівняння, ознака Д’Аламбера, ознаки Коші); абсолютною та умовною збіжністю рядів; ознакою Лейбніца.