Література: 1, с.320-327; 6, с.313-326].
П Л А Н
1. Екстремум функції z=f (x; y). Необхідні і достатні умови існування екстремуму.
2. Поняття про скалярне поле.
1.
Розглянемо функцію z=f
(x;
y),
(х; у)
.
Означення. Точка Р0 (х0; у0) називається точкою max (min) функції z=f (x; y), якщо існує такий окіл точки Р0, що належить області визначення , що значення функції в довільній точці цього околу будуть меншими (більшими) значення функції в точці Р0.
z max
min
y
P0
х
P0
Необхідні умови існування екстремуму.
z=f (x; y), (х; у) , Р0 (х0; у0) .
Якщо в точці Р0 існує екстремум, то в цій точці частинні похідні або дорівнюють нулю, або не існують.
Точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю, називаються стаціонарними; точки, в яких частинні похідні дорівнюють нулю або не існують, називаються критичними.
Приклад:
Знайти стаціонарні точки функції
.
Відповідь: М1 (-1; 2), М2 (-1; -2), М3 (0; 0)
Достатні умови існування екстремуму
Нехай
в точці Р0
(х0;
у0)
існують неперервні похідні першого та
другого порядку. Позначимо А =
(Р0),
В=
(Р0),
С=
(Р0).
Тоді:
Якщо АС-В2<0 – екстремум існує;
А >0 (C>0) – min
A <0 (C<0) – max
Якщо АС-В2>0 – екстремум не існує;
Якщо АС-В2=0 – потрібні додаткові дослідження для визначення екстремуму.
Приклад: Знайти екстремум для попередньої функції.
=4 =2у = 2х + 2
1) для М1 (-1; 2) А = (М1)=4
В = (М1)=4
С= (М1)=0
-
екстремуму немає
2) для М2 (-1; -2) А=4 В =-4 С=0
-
екстремуму немає
3) для М3 (0; 0) А=4 В=0 С=2
- екстремум
існує;
так як А=4>0
- min
Z min = (0; 0)=0
z
(0; 0; 0) у
х
2. Нехай кожній точці простору ставиться у відповідність функція, яка залежить від координат точки: u=u (х; у; z)
Значення цієї функції змінюється від точки до точки.
Тоді таке поле називається скалярним просторовим полем
Нерівномірно нагрітий камінь – це поле температур.
Задати поле – значить задати скалярну функцію в кожній точці цього поля.
Якщо поле плoське, то функція залежить від двох змінних u=u (х; у).
Означення. Нехай дано просторове поле u=u (х; у; z). Множина точок, в яких функція u=u (х; у; z) має постійне значення називається поверхнею рівного рівня поля.
u=u (х; у; z)=с, с=const.
Якщо поле плоске u=u (х; у), то лінія рівного рівня називається геометричним місцем точок, в яких функція постійна.
u=u (х; у)=с, с=const – рівняння лінії рівня.
Приклад: и=х2+у2 – поле. Скласти рівняння ліній рівня і побудувати їх.
х2+у2 =с
1) с>0, c=R2 х2+у2 =R2 -це рівняння задає множину концентричних кіл різних радіусів.
у
С3
2)
с=0 х2+у2
=0 - точка
С 3) с<0,
C=
- R2
х2+у2
=-R2
- кола
уявного
радіуса
х
Питання для самоконтролю
1. Похідна за напрямом.
2. Градієнт.
Л Е К Ц І Я 19
Тема: Первісна функція та невизначений інтеграл.
Мета: сформувати поняття первісної функції та невизначеного інтеграла;
ознайомити з властивостями невизначеного інтеграла, таблицею основних інтегралів, інваріантністю формули інтегрування.