Правила знаходження частинних похідних

1) Якщо знаходиться похідна по змінній х, то у є постійною величиною.

2) Якщо знаходиться похідна по змінній у, то х є постійною величиною.

Приклад:

Завдання додому

1. Конспект; [1] с. 284-294

[2] с. 397-406

Питання для самоконтролю

1. Означення функції багатьох змінних. Символіка.

2. Границя функції z=f (x; y).

3. Частинні та повний прирости функції z=f (x; y).

4. Частинні похідні.

Л Е К Ц І Я 17

Тема: Похідна за напрямом. Градієнт.

Мета: сформувати поняття похідної за напрямом, градієнта, скалярного поля.

Література: 1, с. 310-318; 6, с.297-307].

П Л А Н

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

1. Характеристиками скалярного поля є похідна за напрямом і градієнт.

Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Частинні похідні визначають швидкість зміни функції Z в напрямі осей О_х і О_у .

По аналогії можна знайти швидкість зміни поля в любому напрямі.

Цією швидкістю зміни поля є похідна його в певному напрямку від точки до точки.

М₁ (х₁; у₁; z₁) Означення. Похідною функції u (х; у; z) в точці

М₀ (х₀; у₀; z₀) за напрямом вектора називається

границя відношення приросту функції

М₀ (х₀; у₀; z₀) u (М₁) – u (М₀) до довжини вектора за умови,

що М₁ М₀ , тобто

де - напрямні косинуси вектора

Зауваження: для плоского поля формула для обчислення містить тільки два доданки.

Величина дорівнює швидкості зміни поля за напрямом вектора :

- якщо >0, то в цьому напрямі поле зростає;

- якщо <0 – спадає;

- якщо =0 – поле постійне, таке поле називається стаціонарним.

2.Нехай дано скалярне поле u=u (х; у; z).

Означення. Градієнтом функції u (х; у; z) називається вектор, координатами якого є значення частинних похідних функції u.

g rad u (х; у; z) =

Напрям градієнта в кожній точці поля збігається з напрямом нормалі до поверхні рівня, що проходить через цю точку.

u =c

grad u

Похідна в напрямі градієнта має найбільше значення. При цьому поле в напрямі градієнта зростає з максимальною швидкістю, а у напрямі, протилежному до напряму градієнта, найшвидше спадає.

Максимальну швидкість зміни поля можна обчислити за формулою:

max =

u= grad u

Властивості градієнта:

1) grad (u+v)= grad u + grad v

2) grad (c ) = grad u

3) grad ( )= u grad v +v grad u

4) grad

Приклад: 1. Знайти grad u в точці М (-1; 2; -2), якщо u =

2. Знайти найбільшу швидкість зростання поля.

3. В якому напрямі функція u спадає найшвидше?

1. grad u =

,

,

grad u=

2. max

3. Напрям найшвидшого спадання поля:

- grad u=

Завдання додому

1. Конспект; [2] с. 408-414.

2. Самостійна робота №11 “Метод найменших квадратів” (3 год.)

[2] с. 420-425.

3. Самостійна робота №12 “Умовний екстремум функції Z=f (x; y) в економічній

теорії» (3 год.) [2] с. 417-420

Питання для самоконтролю

1. Похідна за напрямом.

2. Градієнт.

Л Е К Ц І Я 18

Тема: Екстремум та умовний екстремум функції багатьох змінних.

Мета: сформувати поняття екстремуму та умовного екстремуму функції двох змінних.