Геометричний зміст диференціала
Диференціал визначає приріст ординати дотичної, яка проведена в точці х0 до графіка функції у= f(x).
7. Інваріантність форми диференціала – незмінність: перший диференціал функції у= f(x) визначається за однією і тією самою формулою незалежно від того, чи змінна х є незалежною змінною, чи вона є функцією іншої змінної.
8. Диференціал функції застосовується в наближених обчисленнях.
Завдання додому
1. Конспект, підготовка до практичного заняття
[1] с. 191-222
[2] с. 176-194
2. Самостійна робота №8 “Задача про неперервне нарахування відсотків”
(2 год.) [2] с. 159-161
3. Самостійна робота №9 “Поняття про еластичність функції”
(2 год.) [2] с. 196-198
Питання для самоконтролю
1. Неперервність функції у=f (x).
2. Похідна функції. Геометричний та економічний зміст.
3. Основні правила диференціювання.
4. Таблиця похідних.
5. Похідна складної функції.
6. Означення диференціала та його зміст.
7. Інваріантність форми диференціала.
8. Застосування диференціала в наближених обчисленнях.
Л Е К Ц І Я 15
Тема: Дослідження функцій. Побудова графіків.
Мета: сформувати поняття екстремума функції, опуклості і вгнутості кривих, асимптоти кривої, ознайомити з схемою дослідження функції та побудовою графіка.
Література: 1, с. 246-266; 6, с.249-254].
П Л А Н
1. Екстремум функції.
2. Опуклість і вгнутість кривих.
3. Асимптоти кривої.
4. Схема дослідження функції та побудова графіка.
5 Видача індивідуального завдання.
1.
Границя відношення двох функцій (у
випадках невизначеності виду
і
при
або
)
дорівнює границі відношення похідних
цих функцій.
(або ) (або )
Правило Лопіталя використовується з застосуванням особливих границь і властивостей границь.
Приклад:
=
2.
Розглянемо функцію у= f
(x),
.
1 ) Функція називається зростаючою, якщо при х2 > х1 f (x2) > f (x1).
y
f (x1) f (x2)
0 x1 x2 x
2) Функція називається спадною, якщо при x1 > x2 f (x2) < f (x1).
y
f (x1)
f (x2)
0 x1 x2 x
Функція, яка або тільки зростає, або тільки спадає на деякому інтервалі, називається монотонною на цьому інтервалі.
Достатні умови монотонності функції.
1.
Якщо в кожній точці інтервалу
функція має додатню похідну, то в цьому
інтервалі функція зростає, тобто
нерівність
є достатньою умовою зростання функції.
2.
Якщо
,
то в інтервалі
функція спадає.
3.
Якщо
в кожній точці інтервалу
, то в цьому інтервалі функція постійна.
у
у=с
с
0 х
y
у=f (x) - гострий кут
0 x
3.
Розглянемо функцію у= f
(x),
х
.
х0 – точка max, якщо значення функції в цій точці є найбільшим в порівнянні із значенням функції в деякому околі точки х0 .
у
max
0 х1 х0 х2 х
х0 – називається точкою min, якщо значення функції в цій точці є найменшими в порівнянні із значенням функції в декому околі точки х0 .
у
min
0 х1 х0 х2 х
Необхідна умова існування екстремума (але не достатня).
Якщо в точці х0 існує екстремум, то в цій точці похідна дорівнює 0 або не існує.
Ці точки називаються критичними (або стаціонарними).
y Геометрично: дотична в точці
max екстремуму паралельна осі Ох .
min
0 x0 x1 x
Але критичні точки не обов’язково являються точками екстремума.