Решение:

По геометрическому смыслу производной, она равна угловому коэффициенту касательной k: , тогда имеем уравнение

тогда

получили дифференциальное уравнение 1-го порядка, решим его. Проинтегрируем обе части уравнения

получили

– общее решение дифференциального уравнения.

Это уравнение задаёт семейство парабол, которые получаются друг из друга с помощью параллельного переноса вдоль оси Оу.

Чтобы найти произвольную постоянную интегрирования "с", учтём, что кривая должна пройти через точку А(1,3).

Подставим эти значения x=1 и y=3 в общее решение дифференциального уравнения:

отсюда находим , тогда

– частное решение дифференциального уравнения.

Ответ:

Определение: общим решением дифференциального называется множество его решений вида , где с – произвольная постоянная интегрирования.

Определение: частным решением дифференциального уравнения называется то его решение, которое получается из общего решения при конкретном числовом значении с.

Примечание: Начальные условия дифференциального уравнения у=у₀ при х=х₀

задаются для того, чтобы из общего решения найти его частное решение.

Задача: Является ли функция у = sin х -1 решением дифференциального уравнения

Решение:

Зная функцию у, найдем её производную y’ (x) = (sin x-1) ’=cosx.

Подставим y и y’ в заданное дифференциальное уравнение:

тогда

- тождество, значит, данная функция является решением этого дифференциального уравнения.

Ответ: является

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Определение: дифференциальным уравнением первого порядка с разделяющимися переменными называются дифференциальное уравнение вида

Алгоритм решения этих уравнений:

1. Разделить переменные:

2. Проинтегрировать обе части уравнения:

отсюда будет найдено общее решение дифференциального уравнения.

3. Найти частное решение дифференциального уравнения. Для этого использовать заданные начальные условия дифференциального уравнения.

Пример 1: решить дифференциальное уравнение с разделяющими переменными:

Решение:

1.

,

2. Интегрируем обе части дифференциального уравнения

, отсюда находим

3. Найдем частное решение дифференциального уравнения при начальных условиях у = 2 при х = 0, подставим их в общее решение:

, отсюда ,

.

Ответ:

Примечание:

• dy – должен быль слева, а dx – справа от знака равно;

• dy и dx не должны быть в знаменателе;

• чтобы разделить переменные в дифференциальном уравнении, можно:

- переносить слагаемое в другую сторону уравнения с противоположным знаком;

- умножать или делить обе части уравнения на одно и то же выражение.

Пример 2: Найти частное решение дифференциального уравнения

Решение:

1.

:

, тогда

2. Интегрируем обе части :

.

Возьмем интеграл методом подстановки:

.

Тогда дифференциальное уравнение примет вид:

, , отсюда

3. Найдем частное решение при начальных условиях y = 2, x = 0:

, , отсюда окончательно имеем

дифференциального уравнения.

Ответ: у = 2cos x.

Примечание: иногда при интегрировании дифференциального уравнения приходится применять метод подстановки.

Методические указания и примеры типового расчёта

заданий практической работы №12 по теме

«Решение дифференциальных уравнений II порядка»

Теория

Простейшие дифференциальные уравнения второго порядка

Определение: Простейшими дифференциальными уравнениями второго порядка называются дифференциальные уравнения вида:

Метод их решения – двукратное интегрирование.

Пусть

тогда дифференциальное уравнение второго порядка перейдёт в дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р(х):

dp = f(x) dx – переменные разделились.

Интегрируем обе части дифференциального уравнения:

,

снова получим дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными:

. Интегрируем обе части дифференциального уравнения:

, отсюда общее решение дифференциального уравнения

.